Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит \(11\), а сумма которых больше \(110\), всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше \(110\), но больше: а) \(99\); б) \(101\); в) \(100\).

а) Складываем числа с доски до тех пор, пока не будет больше 110, а потом убрать из набора последнее число. Так как сумма чисел получится больше 110, а каждое число не более 11, то сумма чисел без последнего числа всегда будет больше 99. б) Возьмём число 10,1 – 11 раз, сумма их равна 111,1 > 110, если мы возьмём 10 раз по 10,1, то получим 101, а оно не больше 101. Значит, не всегда, следовательно, нет. в) Складываем числа до тех пор, пока не будет больше 110. Если среди них есть число меньше или равно 10, то убираем его, если таких нет, то все числа будут находиться в промежутке от 10 до 11. И нужно взять 10 таких чисел, чтобы было больше 100 и меньше 110. Ответ: а) да, б) нет, в) да.

В каждой клетке квадратной таблицы \(6х6\) стоит натуральное число, меньшее \(7\). Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи? б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи? в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

а) Да, может быть, пример: \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) б) Нет. Так как, Вася минимум соберёт \(6\), а Петя максимум соберет \(= 36\), но одновременно это невозможно. Так как максимум Пети \(36\), когда все числа в таблице \(6\), но тогда у Васи не может быть \(6\). в) Если у Васи \(6\), то у Пети максимум будет \(31\) (1 строка из \(1\) и все остальные строки из \(6\)), тогда получаем \(\frac{31}{6}\), а если у Васи не \(6\), то у него пусть будет \(n > 6\). У Пети пусть будет \(m\leq 36\), тогда \(\frac{m}{n}\leq\frac{36}{7}\). Проверим \(\frac{36}{7}\) и \(\frac{36}{6}\leftrightarrow\frac{216}{42}<\frac{252}{42}\). Значит, наибольшим будет \(\frac{31}{6}\), пример: \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) Ответ: а) да; б) нет; в) \(\frac{31}{6}\).

На доске написано \(n\) чисел \(a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)\). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на \(r_{i}\%\). При этом либо \(r_{i} =2\%\), либо число \(a_{i}\) уменьшается на 2, то есть становится равным \(a_{i} -2\). Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента). а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) быть равным 5? б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) больше 2, при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась более чем на \(2n\)?в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\).

а) Нет, так как наибольший %, на который может быть уменьшено число \(\frac{2}{50} \cdot 100%=4%\). б) Да, например, взяли бы два числа 50 и 150, тогда: В итоге среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{n} =3\%\), при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась на \(5( >2n,n-2)\) в) Так как наибольший %, на который может быть уменьшено число =4%, то нам нужно, как можно больше чисел по 50, из которых мы будем вычитать 2. Пусть \(k\) чисел уменьшим на 2, тогда \(30-k\) чисел уменьшаем на 2%. Так как сумма чисел уменьшилась на 40, то \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\) (\(2k\) - уменьшение \(k\) чисел на 2, \((30-k) \cdot 1\) - наименьшее уменьшение суммы \(30-k\) чисел, которые уменьшаются на 2%) \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\\ 10\geqslant k\) Пусть \(k=10\), тогда \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Пример: Возьмем 30 чисел по 50, из первых 10 вычтем 2, из остальных 2% \(\Rightarrow r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Ответ: а) Нет; б) Да; в) \(\frac{8}{3}\).

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10. а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) -7, -4, 6. Пусть было задумано n чисел. Тогда на доску будет выписано \(n+C^2_n+C^3_n+\dots +C^n_n=2^n-1\) чисел. У нас набор из семи чисел, значит задумано было три числа. Все три отрицательные они быть не могли, иначе не было положительной суммы, если положительных чисел было бы два, то вместе с их суммой на доске было бы хотя бы три положительных числа. Значит положительное число было загадано одно единственное, при чем оно может быть только наибольшим в наборе (его сумма с любыми другими числами будет меньше него) и это число 6. Число -11 наименьшее соответственно должно быть получено как сумма двух отрицательных чисел \(-\) среди чисел на доске такие только -7 и -4. б) 5. Пусть для некоторого набора чисел, среди которых нет нуля, количество нулей на доске равно \(k\). Если добавить в этот набор ноль, то на доске добавится сам этот ноль, и \(k\) нулевых сумм, которые получены из старых нулевых сумм прибавлением к ним нового нуля. Тогда, если в наборе есть ноль (а сказано, что числа различны, значит он максимум один), то количество нулевых сумм \(2k+1\) \(-\) нечетное число. Значит в исходном наборе нуля не было. Пусть задумано не больше 4 чисел. Ноль мы можем получить из суммы некоторого количества отрицательных чисел с некоторым числом положительных. Пусть (в силу симметрии) отрицательных чисел не больше двух. Тогда разных наборов отрицательных чисел не больше трех — это сами отрицательные числа и их сумма. В таком случае мы получим не более трех нулей, так как при таких малых количествах чисел суммы положительных чисел так же будут различны (в суммах по два хотя бы одно будет повторяться, и может быть еще сумма из трех чисел, большая любых предыдущих сумм) и у нас не может оказаться более трех пар противоположных чисел. В таком случае задумано не менее пяти чисел -- пример -2, -1, 1, 2, 3. в) Нет. Например, если на доске написаны числа -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, то задуманы могли быть как числа -3, 1 и 2, так и -2, -1, 3. Ответ: а) -7, -4, 6. б) 5. в) Нет.

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Нет, не вырастет. \(n\) – количество учеников в первой школе, \(S\) – средний балл в первой школе, \(ns\) – сумма баллов в первой школе. Значит \(n–1\) стало, следовательно, стало \(2S\). Получаем, \(2S(n-1)-nS=S(2n-2)-nS=S(2n-2-n)=S(n-2)\). Так как \(n\geq 2\), то \(S(n-2)\geq 0\). Разница не отрицательна, значит, противоречие, так как должна быть отрицательна. б) 1 школа – учеников стало \(n – 1\), значит, стало среднее \(1,1S\), следовательно \((n - 1)\cdot 1,1S\) – баллов стало. \(nS – (n – 1)\cdot 1,1S = S(n – 1,1n + 1,1) = S(1,1 – 0,1n)\) – столько баллов у ушедшего ученика. 2 школа – \((51 – n)\) было количество учеников, стало \(52 – n\), средний балл был \(1\), стало \(1,1\). Получаем уравнение: \((51-n)+S(1,1-0,1n)=(52-n)\cdot 1,1\leftrightarrow S(1,1-0,1n)=57,2-1,1n-51+n\leftrightarrow 1,1S-0,1Sn=\\ =6,2-0,1n\leftrightarrow 1,1S-6,2=0,1n(S-1)\leftrightarrow 11S-62=n(S-1)\leftrightarrow n=\\ =\frac{11S-62}{S-1}=11-\frac{51}{S-1},\) нам подходят \(S:2,4,18,52\) для натурального \(n\). Нам не подходят все числа для \(S\) в формуле \(S(1,1-0,1n)\), следовательно, такое быть не может. в) Пусть \(T \ -\) средний бал во 2-ой школе. Допустим, что был \(T\), а стало \(1,1T\), тогда получим формулу: \((51-n)\cdot T+S(1,1-0,1n)=(52-n)\cdot 1,1T\leftrightarrow 1,1S-0,1Sn=6,2T-0,1nT\leftrightarrow 11S-Sn=\\ =62T-nT\leftrightarrow S(11-n)=T(62-n)\leftrightarrow 11S-62T=Sn-nT\leftrightarrow 11S-62T=n(S-T)\leftrightarrow n=\\ =\frac{11S-62T}{S-T}=11-\frac{51}{S-T},\) пусть \(T=2\), тогда: \(n=11-51\cdot\frac{2}{S-2}\leftrightarrow\) значения \(S\) для натурального \(n\): \(3,4,5,8,19,36,53,104\), так как \(n\geq 2\), то отпадают значения \(3,4,5,8\). Остальные не подходят под формулу \(S(1,1-0,1n)\). Возьмем \(T=3\), тогда \(n=11-3\cdot 3\cdot\frac{17}{S-3}\), для него подходят \(S\): \(4,6,12,20,24\). Из данного набора нам подходит число \(20\), так же подходит для формулы \(S(1,1-0,1n)\). Тогда было \(2\) человека: \(22\) и \(18\), а во второй школе было \(49\) по \(3\). Тогда получаем формулу: \(\frac{49T+18}{50}=1,1T\leftrightarrow 49T+18=5,5T\leftrightarrow T=3\). Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.