Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №20 Числа и их свойства

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит $11$, а сумма которых больше $110$, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше $110$, но больше:
а) $99$;
б) $101$;
в) $100$.

В каждой клетке квадратной таблицы $6\times6$ стоит натуральное число, меньшее $7$. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по $2$, по $3$ и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа $2$, $3$, $5$, то на доске будет выписан набор $2$, $3$, $5$, $5$, $7$, $8$, $10$.

а) На доске выписан набор $−11$, $−7$, $−5$, $−4$, $−1,$ $2$, $6$. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число $0$ встречается ровно $4$ раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б)  Средний балл в школе №1 вырос на $10\%$, средний балл в школе №2 также вырос на $10\%$. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в)  Средний балл в школе №1 вырос на $10\%$, средний балл в школе №2 также вырос на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.
а)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $A>140$.
б)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $440\leq A< 500$. 
в)  Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C$.

В наборе 100 гирек весом 1, 2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100$.
а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90$?
б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88$?
в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы других чисел. Например, $40, 45, 50$ - удачная тройка.
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50,60$ и ещё одно число, большее $60$?
б) Найдется ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?
в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. S – это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли S = 421?

б) Может ли S = 9,2?

в) Какое наибольшее может быть S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной $420$?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной $419$?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число - трехзначное, а последнее равно $5$?

В ящике лежат $73$ овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна $1000$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше $1000$ г, равна $988$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше $1000$ г, равна $1030$ г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше $1000$ г и овощей массой больше $1000$ г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно $11$ овощей, масса каждого из которых равна $1000$ г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. $S\, –$ это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли $S = 421$?

б) Может ли$S = 9{,}2$?

в) Какое наибольшее может быть $S$, если известно, что 4 исходных числа не меньше $400$ и не больше $999$?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру $9$, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске написано $n$ единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано $n = 12$ единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

$1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147$.

а) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =60$?

б) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =80$?

в) Чему могло равняться $n$, если полученная сумма чисел равна $150$?

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

a) Могло ли из числа $65$ получиться число $41$?

б) Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $− \ 3$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $4$, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $− \ 8$.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).

а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.<br>Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на $3$ и оканчиваются на $4$.

а)  Может ли сумма составлять $282$?

б)  Может ли их сумма составлять $390$?

в)  Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна $2226$?

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B -$ шестое по величине число, а $S -$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?