Найдите все значения $a$, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая неравенству $2|x-a|+7|x-3|\leq \sqrt{1-y^2}+5$

Представим левую и правую части неравенства в виде отдельных функций. Правая часть уравнения: $g(y)=\sqrt{1-y^2}+5$ Так как $0\leq y^2\leq 1$, то $5\leq g(y)\leq 6$. Левая часть уравнения: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle f( x) =2|x-a|+7|x-3|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3\geq 0\\ f( x) =2|x-a|+7(x-3) \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3< 0\\ f( x) =2|x-a|+7(3-x) \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq 3\ \\ f( x) =2|x-a|+7x-21 \end{array} \right. \ ( 1)\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x 0$, так как $7x\pm 2x>0$); - при $x<3$ не зависимо от знака выражения $(x-a)$ $f(x)$ будет монотонно убывать ($f(x)$ - линейная функция и коэффициент при $x<0$, так как $-7x\pm 2x<0$). Тогда $x=3$ - точка минимума, а $f(3)=2|3-a|$ - минимальное значение $f(x)$. Отметим возможные значения функций $f(x)$ и $g(y)$ на числовой прямой: Таким образом, для того, чтобы существовала хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая неравенству $f(x)\leq g(y)$, минимальное значение $f(x)$ должно располагаться на числовой прямой левее точки $6$. То есть $2|3-a|\leq 6\Leftrightarrow |3-a|\leq 3\Leftrightarrow \displaystyle \begin{cases} 3-a\leq 3\\ 3-a\geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 0\\ a\leq 6 \end{cases} \Leftrightarrow a\in [ 0;6]$ Значит, хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая исходному неравенству, существует при $a\in [ 0;6]$. Ответ: $a\in [ 0;6]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\displaystyle \begin{cases} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{cases}$ имеет более двух решений.

Преобразуем исходную систему, раскрыв модуль и наложив необходимые ограничения: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1\geq 0\\ 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1< 0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ x^{2} -2x+1+y^{2} +2y+1=1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ x^{2} +2x+1+y^{2} -2y+1=5 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ ( x -1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1) \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ ( x+ 1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \ ( 2) \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \end{array}\) Для дальнейшего решения полученной системы используем графический метод. На координатной плоскости изобразим полученные решения с учётом ограничений. Уравнение (1) описывает окружность (1) с центром в точке $(1;-1)$ и радиусом $1$, а уравнение (2) – окружность (2) с центром в точке $(-1;1)$ и радиусом $\sqrt{5}$: В свою очередь ограничение $x^2+y^2 1$ на графике можно представить как окружность $x^2+y^2=1$ (с центром в точке $(0;0)$ и радиусом $1$). Тогда для окружности (1) в решении следует рассматривать только ту часть, которая находится вне окружности, изображающей ограничение ($x^2+y^2\geq 1$). А для окружности (2) – часть, которая находится внутри окружности, изображающей ограничение ($x^2+y^2<1$). Таким образом, графическое представление первого уравнения исходной системы будет выглядеть так: Найдём координаты точек пересечения окружностей. Для этого решим систему, состоящую из уравнений для этих окружностей: $\displaystyle \begin{cases} ( x-1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2}\\ ( x+1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{cases}$ Сложим первое уравнения со вторым: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 4x-4y-4=0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=1\\ x^{2} +2x+y^{2} -2y-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x^{2} +2x+( x-1)^{2} -2( x-1) -3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ 2x^{2} -2x=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x( x-1) =0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=-1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$ Таким образом, окружности пересекаются в точке $A(1;0)$ и точке $B(0;-1)$. График второго уравнения исходной системы $y=a(x-1)$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $A(1;0)$, с коэффициентом наклона, равным $a$. Чтобы исходная система имела более двух решений, прямая $y=a(x-1)$ должна иметь более двух точек пересечения с кривой, представляющей первое уравнение исходной системы. Найдём количество пересечений при различных значениях $a$. При $a\rightarrow -\infty$ прямая $y=a(x-1)$ стремится слиться прямой, проходящей через точку $A(1;0)$ параллельно оси $OY$. При $a\in (-\infty;0)$ прямая $y=a(x-1)$ имеет два пересечения с кривой представляющей первое уравнение исходной системы. То есть исходная система имеет 2 решения. При $a=0$ прямая $y=a(x-1)$ совпадает с осью $OX$ и имеет одно пересечение (точка $A(1;0)$). То есть система имеет 1 решение. При $a>0$ прямая $y=a(x-1)$ имеет одно пересечение (точка $A(1;0)$). Такая ситуация сохранится до момента прохождения прямой $y=a(x-1)$ через точку $B(0;-1)$. В этом случае точек пересечения будет две. Значит, и система будет иметь 2 решения. Найдём значение параметра $a$ в точке $B(0;-1)$: $-1=a(0-1)\\ a=1$ При $a>1$ точек пересечения станет 3: Так будет продолжаться по тех пор, пока прямая $y=a(x-1)$ не превратится в касательную для окружности (2). При дальнейшем увеличении параметра $a$ точек пересечения снова станет две. То есть исходная система будет иметь 2 решения. Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при значении параметра $a$ от 1 до значения коэффициента наклона касательной для окружности (2) в точке $A(1;0)$. Найдём это значение коэффициента наклона. То, что прямая $y=a(x-1)$ является касательной для окружности (2), означает, что прямая, содержащая радиус окружности (2), проведённый через точку $A(1;0)$, должна быть перпендикулярна к касательной, проходящей через эту точку. Одна из прямых пучка $y=a(x-1)$ будет содержать радиус окружности (2) и проходить через центр этой окружности с координатами $(-1;1)$: $1=a(-1-1)\\ a=-\frac{1}{2}$ Значит, коэффициент наклона прямой, содержащей радиус к точке касания, равен $-\frac{1}{2}$. Тогда коэффициент наклона перпендикулярной прямой: $-\frac{1}{2}\cdot a=-1\\ a=2$ Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при $a\in (1;2)$. Ответ: $a\in (1;2)$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2-(4a+3)x+5a+2=0$ имеет два различных корня?

Чтобы уравнение имело два различных корня необходимо, чтобы $D>0$. Заметим, что при $a=0$ уравнение превращается в линейное и имеет $1$ корень, нам не подходит. Рассмотрим: $D=(4a+3)^2-4a(5a+2)=16a^2+24a+9-20a^2-8a$. $-4a^2+16a+9>0\\ 4a^2-16a-9<0$ Введём функцию $f(a)=4a^2-16a-9$, найдём $f(a)=0\Rightarrow 4a^2-16a-9=0$ $\displaystyle D=256-4\cdot ( -9) \cdot 4=256+144=400\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =\frac{16+20}{2\cdot 4}\\ a_{2} =\frac{16-20}{2\cdot 4} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =4,5\\ a_{2} =-0,5 \end{array} \right.$ Воспользуемся методом интервалов: Получим, что при $a\in (-0,5;4,5)$ $D>0$, т.е. уравнение должно иметь $2$ корня. Вспомним, что при $a=0$ уравнение имеет $1$ корень, тогда $a\in (-0,5;0)\cup (0;4,5)$ уравнение имеет $2$ корня. Ответ: $(-0,5;0)\cup (0;4,5)$

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x+\frac{a^2}{x}+1|+|x+\frac{a^2}{x}-1|=2$ имеет хотя бы один корень.

Сделаем замену: $x+\frac{a^{2}}{x} =t$. Получаем следующее уравнение $|t+1|+|t-1|=2$. Посмотрим все возможные раскрытия: $t+1+t-1=2~ здесь~ t=1 при ~t >1\\ t+1-t+1=2~ здесь~ t\in R~ при~ t\in [ -1;1]\\ -t-1-t+1=2~ здесь~t=-1~ при~ t< -1$ Если $x+\frac{a^{2}}{x}$ будет лежать в следующих значениях $-1\leq x+\frac{a^{2}}{x} \leq 1$, то мы получим корни. Теперь мы узнаем промежутки, в которых может лежать функция $x+\frac{a^{2}}{x}$: $x+\frac{a^{2}}{x} =k\\ \frac{x^{2} -kx+a^{2}}{x} =0$ Это может быть, когда $\begin{cases} x^{2} -kx+a^{2} =0\\ x\neq 0 \end{cases}\\ D\geq 0\\ k^{2} -4a^{2} \geq 0\\ ( k-2a)( k+2a) \geq 0$ $k\in ( -\infty ;-2|a|] \cup [ 2|a|;+\infty )$ Для того, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, должно выполняться следующее условие: $-1\leq -2|a|~или~ 1\geq 2|a|$ То есть, когда $\frac{1}{2} \geq |a|$ это может происходить в промежутке $[ -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2}]$. Ответ: $-\frac{1}{2} \leq a\leq \frac{1}{2}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}$ имеет ровно два различных корня.

$|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}\\ |x-a||x+a|-|x+a|\sqrt{x^2-4ax+5a}=0\\ |x-a|\left(|x+a|-\sqrt{x^2-4ax+5a}\right)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} |x-a|=0\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|-\sqrt{x^{2} -4ax+5a} =0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|=\sqrt{x^{2} -4ax+5a} \end{array} \right.$ Решим отдельно систему: $\displaystyle \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a^{2} -4a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ -3a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a( 5-3a) \geq 0 \end{cases}$ Получаем: при $x=a, a\in \left[0;\frac{5}{3}\right]$ Решим уравнение $|x+a|=\sqrt{x^2-4ax+5a}$ $x^2+2ax+a^2=x^2-4ax+5a\\ a^2+6ax-5a=0\\ x=\frac{5a-a^2}{6a}$ Если $a=0$, то $x\in R$ $x=\frac{5-a}{6}$ Найдем совпадение корней: $a=\frac{5-a}{6}\\ 6a=5-a\\ 7a=5$ При $a=\frac{5}{7}$ корни совпадают. Получаем: При $a\leq 0$ одно решение. При $0 \frac{5}{3}$ одно решение. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a\in\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]$. Ответ: $\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, № 19 Задача с параметром с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания, выбрав вид экзамена, название предмета, номер или тему. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 8054 балла
Уравнения и системы уравнений с модулем
Найдите все значения $a$ , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$ , удовлетворяющая неравенству
$2|x-a|+7|x-3|\leq \sqrt{1-y^2}+5$
id 15394 балла
Уравнения и системы уравнений с модулем
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений
$\displaystyle \begin{cases} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{cases}$
имеет более двух решений.
id 20614 балла
Уравнения и системы уравнений с параметром
При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2-(4a+3)x+5a+2=0$ имеет два различных корня?
id 20624 балла
Уравнения и системы уравнений с модулем
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x+\frac{a^2}{x}+1|+|x+\frac{a^2}{x}-1|=2$
имеет хотя бы один корень.
id 20784 балла
Уравнения и системы уравнений с модулем
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}$
имеет ровно два различных корня.