Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №19 Задача с параметром

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{(y^2-xy-9y+5x+20)\sqrt{x+4}}{\sqrt{8-y}}=0,\\a=x+y\end{cases}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a\left(x-\dfrac{15}{x}\right)^2-3\left(x-\dfrac{15}{x}\right)-25a+16=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a\left(7x-\dfrac{3}{x}\right)^2-7\left(7x-\dfrac{3}{x}\right)+21a+14=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство

$-9<\dfrac{3x^2-ax-6}{x^2-x+1}<6$

выполняется для любого $x$.

Найдите все значения параметра $b$, при которых неравенство

$-6<\dfrac{2x^2+bx-4}{x^2-x+1}<4$

выполняется при любых значениях $x$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{2-x}\bigl(\lg(4x^2-a^2)-\lg(2x-a)\bigr)=0$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^2-2x-3}\cdot\ln(9x^2-a^2)=\sqrt{x^2-2x-3}\cdot\ln(3x+a)$

имеет ровно два корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{x^2+ax-a}{2x^3-3a^3-6ax^2+a^2x}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{2x^2-ax-a}{x^3-3ax^2+4a^3}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}|x-1|-2|x-4|+3|x-5|=6,\\x^2-2(a+4)x+a^2+8a+15=0\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}3|x+1|-|x-2|+4|x-3|=13,\\x^2-2(a+1)x+a(a+2)=0\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$\dfrac{3x^2+3^a+\log_3^2a-6}{-9x^4+\log_3a-3^a}\leq-1$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$\dfrac{2x^2+4^a+\log_2^2a-12}{4x^4-\log_2a+2^a}\leq-1$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (|x|+a^2)^2+(y-4a)(y+4a)=4y-4,\\ 0{,}5y-1=\sqrt{6a} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все отрицательные значения $a$, при каждом из которых уравнение
$|2x-3a|+|x+a|=ax+0{,}5$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^4-(y+a)^4-0{,}5a^2x^2+0{,}5a^2(y+a)^2=0,\\ y=ax \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x+a)^4-y^4-0{,}5a^2(x+a)^2+0{,}5a^2y^2=0,\\ y=ax+\dfrac{a}{2} \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\cos ax=0{,}6$
имеет на отрезке $[\pi;6\pi]$ ровно десять корней.
При решении можно воспользоваться оценкой: $0{,}92<\arccos 0{,}6<0{,}93$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\cos ax=0{,}4$
имеет на отрезке $[-\pi;4\pi]$ ровно десять корней.
При решении можно воспользоваться оценкой: $1{,}1<\arccos 0{,}4<1{,}2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x-y)^2-(3a-8)^2+2(ax-ay+xy)=a^2-16,\\ |xy|=a^2 \end{cases}$
имеет не менее семи различных решений.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} (x+y)^2-(4a+9)^2+9=2(ax-ay+xy),\\ |xy|=a^2 \end{cases}$

имеет не менее семи различных решений.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+2a$ и $y=a|x|+|a|$, будет меньше $7$, но не меньше $3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+a$ и $y=a|x|-\left|\dfrac{a}{2}\right|$, будет больше $6$, но не больше $12$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} |x|-|y|=a,\\ x-1=\sqrt{y+4} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} |y|-|x|=a,\\ x-4=\sqrt{9-y} \end{cases}$
имеет ровно два решения.