Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №19 Задача с параметром

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x|x|-2x=ax-a-2$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x+3)|x+3|=2x-a$ имеет два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)|x+1|=2x-a$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-9a+15=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-25a+10=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-49a+14=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+20a-10=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(5x+|x-a^2|-4|x+1|-a^2)^2+(a+2)(5x+|x-a^2|-4|x+1|-a^2)+1=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(7x+|x+a-1|-6|x+a+1|+7a)^2-a(7x+|x+a-1|-6|x+a+1|+7a)+1=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-8|-|x-a|)^2-7a(|x-8|-|x-a|)+10a^2+6a-4=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-a-2|+|x-a+2|)^2-a(|x-a-2|+|x-a+2|)+a^2-64=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x+a^2|+|x-1|)^2-8(|x+a^2|+|x-1|)-a^2+17=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-a-2|+|x-a+2|)^2-a(|x-a-2|+|x-a+2|)+a^2-48=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-a^2|+|x+2|)^2-11(|x-a^2|+|x+2|)+2a^2+24=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(4x+|x+a|+|3x-a+2|)^2+a(4x+|x+a|+|3x-a+2|)+a^2-64=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(5x+|2x-a|-|3x|)^2-(a+2)(5x+|2x-a|-|3x|)+1=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(7x+|x+a|-|6x|)^2+(a+1)(7x+|x+a|-|6x|)-a-1=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-2a-1|+|x-2a+1|)^2+a(|x-2a-1|+|x-2a+1|)+a^2-48=0$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} 4x - y + a = 0, \\ 2|y| - x^2 + 4x = 0 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$.
Известно, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на $90$ больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}(x+ay-5)(x+ay-5a)=0,\\x^2+y^2=16\end{cases}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{xy^2-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0,\\y=ax\end{cases}$

имеет три различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}(xy-x+8)\sqrt{y-x+8}=0,\\y=2x+a\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.