Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №0

Найди корни уравнения $\log_2(x^2+3x-1)=\log_2(x+2)$.

Запиши в поле ответа верное число. Если корней несколько, укажи в ответ больший корень.

Вероятность того, что случайно вынутый карандаш окажется зелёным, равна $0{,}62$. Вероятность того, что он окажется не красным, равна $0{,}89$. Найди вероятность того, что случайно вынутый карандаш окажется синим.

Найди значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{x^5}\cdot x^\frac{1}{3}}{x^3}$ при $x=2$.

В треугольнике $ABC$ площадь равна $54$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, причём $AD:DB=2:7$. Найди площадь треугольника $ACD$.

На рисунке изображён график производной $f'(x)$ дифференцируемой функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4;6)$. Используя график, определи сумму всех целых значений аргумента, при которых функция $f(x)$ возрастает на указанном интервале.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; -3)$ и $\overrightarrow{b}(k; 4)$. Найди значение $k$, при котором скалярное произведение этих векторов равно $5$.

При запуске водяной ракеты дальность её полёта $L$ (в метрах) зависит от начальной скорости $v_0$ (в м/с) и угла запуска $\alpha$ по формуле
$L=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g},$ где $g=10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения. Найди начальную скорость ракеты $v_0$, если дальность полёта равна $45$ м, а угол запуска $\alpha=15^\circ$.

Даны правильная четырёхугольная призма и правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания призмы в $2$ раза больше стороны основания пирамиды, а высота пирамиды в $3$ раза больше высоты призмы. Найди отношение объёма призмы к объёму пирамиды.

Имеется два раствора кислоты различной концентрации. Если смешать $3$ кг первого раствора и $2$ кг второго, то получится раствор с концентрацией $40\%$. Если же смешать $1$ кг первого раствора и $4$ кг второго, то получится раствор с концентрацией $50\%$. Найди концентрацию первого раствора.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_ax$. Найди $f(8)$.

В коробке лежат $8$ пронумерованных карточек с числами от $1$ до $8$. Из коробки наугад одновременно вынимают две карточки. Найди вероятность того, что сумма чисел на вынутых карточках окажется чётной. Ответ округли до сотых.

$15$ января планируется взять кредит в банке на сумму $2\,400\,000$ рублей на $3$ года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю третьего года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила $3\,120\,000$ рублей. Найди $r$.

Реши уравнение
$2\cos^2 x=\sqrt{3}\sin 2x.$

Выбери верную запись всех корней уравнения.

1. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

2. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

3. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

4. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

Определи количество корней уравнения $2\cos^2 x=\sqrt{3}\sin 2x$ на промежутке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right).$

Определи область допустимых значений неравенства
$\dfrac{81x^2-90x+25}{\log_3(81-9^x)-\log_3(8\cdot 3^{x+1})}\geq 0.$

Выбери верный вариант ответа.
1. $x\in(-\infty;2)$
2. $x\in(-\infty;1)\cup(1;2)$
3. $x\in(1;2)$
4. $x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$

Найди наибольшее целое число, которое является решением неравенства
$\dfrac{81x^2-90x+25}{\log_3(81-9^x)-\log_3(8\cdot 3^{x+1})}\geq 0.$

Прочитай задачу и дополни решение.

В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. Докажи, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.

Решение:
Пусть ребро куба равно $a$.
Решим задачу методом координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$ (см.рисунок).

Зададим направляющие векторы прямых $B_1N$ и $CM$ и найдём их скалярное произведение. Если скалярное произведение векторов  $\overrightarrow {B_1N}$ и $\overrightarrow {CM}$ равно $0$, то векторы перпендикулярны, а значит, и соответствующие им прямые тоже.

Определим координаты точек $B_1$, $N$, $C$ и $M$.

Выбери верный вариант ответа.

1.$B_1(0;0;a)$, $N\left(\dfrac{a}{2};a;0\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

2.  $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};0\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

3. $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};0\right)$, $C(a;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

4. $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}\right)$.

В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. Найди ребро куба, если $B_1N=6$.