Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №17 Прикладные задачи на оптимизацию

Точечный источник излучения мощностью $P=900\pi$ Вт создаёт на расстоянии $r$ м интенсивность $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$. По нормам безопасности интенсивность не должна превышать $1$ Вт/м$^2$. Найдите минимальное допустимое расстояние до источника. Ответ дайте в метрах.

Цилиндрическая банка с крышкой должна иметь объём $432\pi$ см$^3$. Радиус основания равен $r>0$ см, высота — $h$ см. Объём и площадь полной поверхности задаются формулами $V=\pi r^2h$ и $S=2\pi r^2+2\pi rh$. При каком радиусе $r$ расход материала, пропорциональный площади $S$, будет наименьшим? Ответ дайте в сантиметрах.

В последовательной электрической цепи с сопротивлением $R$, индуктивностью $L=0{,}5$ Гн и ёмкостью $C=0{,}005$ Ф амплитуда силы тока при угловой частоте $\omega>0$ определяется формулой $I(\omega)=\dfrac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — постоянная амплитуда напряжения. При какой угловой частоте $\omega$ амплитуда тока будет максимальной? Ответ дайте в рад/с.

В модели движения тела без сопротивления воздуха дальность полёта при начальной скорости $v$ и угле броска $\alpha$, где $10^\circ<\alpha<80^\circ$, определяется формулой $L=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}$. При каком угле $\alpha$ дальность полёта максимальна? Ответ дайте в градусах.

Полукруглое окно имеет радиус $6$ м. В него вписывают прямоугольную рекламную панель так, что нижняя сторона панели лежит на диаметре, а две верхние вершины — на дуге полукруга. Найдите наибольшую возможную площадь панели. Ответ дайте в квадратных метрах.

Прочитай условие задачи и дополни решение.

На производстве используется нагревательный элемент, подключённый к источнику постоянного напряжения $U=120$ В. Инженер может изменять сопротивление нагревателя $R$ (в омах). Тепловая мощность, выделяемая в нагревателе, определяется формулой: $P=\dfrac{U^2R}{(R+r)^2}$, где $r=4$ Ом — внутреннее сопротивление источника. 
Какое максимальное значение тепловой мощности $P$ может быть получено при изменении сопротивления нагрузки $R$? 

Решение:
Подставим значения $U=120$ В и $r=4$ Ом в формулу тепловой мощности. Тогда функция зависимости мощности от сопротивления примет вид: $P(R)=\dfrac{14400R}{(R+4)^2}.$ Найдём производную $P'(R)$. 

Выбери верный вариант ответа.

1. $P'(R)=\dfrac{14400(R+4)^2}{(R+4)^4}$ 

2. $P'(R)=\dfrac{14400(4-R)}{(R+4)^3}$

3. $P'(R)=\dfrac{14400(R-4}{(R+4)^3}$

4. $P'(R)=\dfrac{14400}{(R+4)^2}$

На производстве необходимо настроить сопротивление нагревательного элемента так, чтобы количество выделяемого тепла было максимально возможным. Зависимость тепловой мощности от сопротивления нагревателя описывается функцией: $P=\dfrac{14400R}{(R+4)^2},$ где $R$ — сопротивление нагревательного элемента в омах. Определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться в нагревателе. Ответ дайте в ваттах.