Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi = \omega t + \beta \dfrac{t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость, $\beta = 6$ град/мин$^2$ — угловое ускорение. Определите время $t$, если угол намотки достиг $2250^\circ$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h = 1{,}6 + 13t - 5t^2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы $T = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время (в мин), $T_0 = 1600$ К, $a = -5$ К/мин$^2$, $b = 105$ К/мин. При температуре свыше $1870$ К прибор может испортиться. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 0{,}5$ км скорость равна $70$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 3500$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный путь (в км). Найдите путь $l$, если скорость равна $70$ км/ч.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ (в км) над землёй, до линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2R h},$ где $R = 6400$ км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии $48$ км?

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{2401} \cdot 10^{22}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $5{,}7 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = c$, где $p$ — давление в газе (в Па), $V$ — объём газа (в м$^3$), $k = \dfrac{5}{3}$, $c = 6{,}4 \cdot 10^6$ Па·м$^5$. Найдите объём $V$ при давлении $p = 2 \cdot 10^5$ Па.

Два тела, массой $m = 6$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha,$ где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите угол $2\alpha$ (в градусах), если $Q = 243$ Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},$ где $m_0 = 156$ мг — начальная масса, $T = 8$ мин — период полураспада, $t$ — время (в мин). Найдите время $t$, когда масса станет равна $39$ мг.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1{,}4$ атм, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа $A$ (в Дж) вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1},$ где $\alpha = 10{,}9$ Дж/(моль·К), $T = 300$ К. Найдите конечное давление $p_2$ (в атм), если $A = 29430$ Дж.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха объёмом $V_1 = 120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа $A$ (в Дж) вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha = 8{,}7$ Дж/(моль·К), $T = 300$ К. Найдите конечный объём $V_2$ (в л), если $A = 10440$ Дж.

Сила тока $I$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R},$ где $U = 220$ В — напряжение, $R$ — сопротивление прибора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $8{,}8$ А. Определите наименьшее сопротивление прибора, при котором сеть продолжает работать.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой $R_1 = 21$ Ом. Параллельно с ней подключают тостер с сопротивлением $R_2$ (в Ом). Общее сопротивление при параллельном соединении: $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$Для нормальной работы сети общее сопротивление должно быть не меньше $18$ Ом. Найдите наименьшее возможное $R_2$.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключают нагрузку $R$ (в Ом). Напряжение на нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.$ При каком $R$ напряжение будет равно $120$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}},$ где $c = 300$ м/с — скорость звука. Человек различает сигналы, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите минимальную скорость $v$, при которой сигналы будут различимы.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $f_0 = 185$ МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0},$ где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f$ — частота отражённого сигнала (в МГц). Определите частоту $f$, если $v = 20$ м/с. Ответ дайте в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $f_0 = 140$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 15$ м/с и $v = 14$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости $c$ частота сигнала в приёмнике будет равна $150$ Гц?

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ до $180$ см. Изображение будет чётким, если $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.$ Определите время $t$, если за это время автомобиль проехал $36$ метров.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 23 \, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2 \, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $132$ метра. Ответ дайте в секундах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H(t) = H_0 + bt + at^2,$ где $H_0=0{,}625$ м, $a = \dfrac{1}{30}$ м/мин$^2$, $b = -\dfrac{1}{3}$ м/мин. Определите время $t$ (в минутах), пока вода вытекает из бака.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60$км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$
, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $21$км. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите время $t$ (в минутах), если он удалился на $154$ км.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 70$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $123$ км. Ответ дайте в минутах.