Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = \sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R = 6400 \, \text{км}$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $25{,}6$ километра? Ответ дайте в метрах.

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = \sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R = 6400 \, \text{км}$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $60$ километров? Ответ дайте в метрах.

Двигаясь со скоростью $v = 4 \, \text{м/с}$, трактор тащит сани с силой $F = 90 \, \text{кН}$, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N = Fv \cos \alpha$. Найдите, при каком угле $\alpha$ (в градусах) эта мощность будет равна $180 \, \text{кВт}$ (кВт — это $\frac{\text{кН} \cdot \text{м}}{\text{с}}$).

Мяч бросили под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = \dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g}$. При каком значении угла $\alpha$ (в градусах) время полёта составит $3$ секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0 = 30$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет равен $20\%$, если температура холодильника $T_2 = 330$ К? Ответ дайте в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет равен $41\%$, если температура холодильника $T_2 = 295$ К? Ответ дайте в кельвинах.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 2 \cdot 10^5$ Па·м⁵, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \dfrac{5}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $6{,}4 \cdot 10^6$ Па.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 8 \cdot 10^4$ Па·м⁵, где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \dfrac{7}{5}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $6{,}25 \cdot 10^2$ Па.

Автомобиль, масса которого равна $m = 2250$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь $S = 600$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = \dfrac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $18\,750$ Н. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль, масса которого равна $m = 2310$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь $S = 70$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = \dfrac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $6600$ Н. Ответ дайте в секундах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 3$ В, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = 60^\circ$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем $1{,}5$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega = 150^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = -90^\circ$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 520$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k \lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим $2080$ нм?

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 620$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k \lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим $3720$ нм?

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 150$ В и внутренним сопротивлением $r = 1{,}2$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $132$ В? Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 75$ В и внутренним сопротивлением $r = 0{,}8$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $63$ В? Ответ дайте в омах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $8{,}8$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $44$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1320$ K, $a = -10$ К/мин², $b = 80$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1440$ K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1190$ K, $a = -20$ К/мин², $b = 260$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1790$ K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $1{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $1$ с? Ответ дайте в метрах.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение втрое объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее чем в $81$ раз?

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ увеличение в $625$ раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в $125$ раз?

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{300} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{13}{30}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $9$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{140} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{8}{7}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $19$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?