Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, $\omega = 50$ град/мин — начальная угловая скорость, $\beta = 4$ град/мин$^2$ — угловое ускорение. Определите время $t$, если угол намотки достиг $2500^\circ$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h = 1,4 + 9t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время (в мин.), $T_0 = 1380$ К, $a = -15$ К/мин$^2$, $b = 165$ К/мин. При температуре свыше $1800$ К прибор может испортиться. Найдите наибольшее время $t$, после которого нужно отключить прибор.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 0{,}3$ км скорость равна $120$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 0{,}4$ км скорость равна $80$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 0{,}5$ км скорость равна $70$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 1$ км скорость равна $120$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 2500$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $50$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $90$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $120$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 32000$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгоняется до скорости $160$ км/ч.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{256} \cdot 10^{21}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{10368} \cdot 10^{22}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $1{,}14 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = c$, где $p$ — давление в газе (в Па), $V$ — объём газа (в м$^3$), $k = \dfrac{4}{3}$, $c = 4{,}8 \cdot 10^6$ Па·м$^4$. Найдите объём $V$ при давлении $p = 3 \cdot 10^5$ Па.

Два тела, массой $m = 9$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha,$ где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите угол $2\alpha$ (в градусах), если $Q = 81$ Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $t$ — время, прошедшее от начального момента (в мин), $T$ — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа $100$ мг. Период его полураспада составляет$2$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $12{,}5$ мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},$ где $m_0 = 196$ мг — начальная масса, $T = 4$ мин — период полураспада. Найдите время $t$, через которое масса станет равна $49$ мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_{0} \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_{0}$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от начального момента (в мин), $T$ — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа $20$ мг. Период его полураспада составляет $10$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5$ мг.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2{,}5$ атм, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа $A$ (в Дж) вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1},$ где $\alpha = 5{,}75$ Дж/(моль·К), $T = 300$ К. Найдите конечное давление $p_2$ (в атм), если $A = 10350$ Дж.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 16 \, \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа $A$ (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 9,9 \, \text{Дж/(моль⋅К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа $26 730$ Дж. Ответ дайте в литрах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии $8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $24$ километров?

Груз массой $0{,}25$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 0{,}8 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Груз массой $0{,}58$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%,$ где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет $15 \%$, если температура холодильника $T_2 = 323 \, \text{К}$? Ответ дайте в кельвинах.