Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №10 Задачи с прикладным содержанием

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа, $t$ – время, прошедшее от начального моменты, $T$ – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $176$ мг. Период его полураспада составляет $3$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равно $11$ мг.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала. регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=11$ м/с и $v=13$ м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением: $T=T_0+bt+at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0=1450~K$, $a=-30~K/мин^2$, $b=180~K/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1600~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $72$ км. Ответ дайте в минутах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \dfrac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \dfrac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$м/с. Ответ дайте в м/с.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ – мощность излучения звезды в ваттах, $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ – постоянная Стефана-Больцмана, $S$ – площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ – температура в Кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{16} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12 \cdot 10^{25} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24 \, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3 \, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$м. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 57$км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 8$км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением
$S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $45$ км от города. Ответ выразите в минутах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 14$ м/с и $v = 10$ м/с— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет ровно $150$ Гц?

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 5$ моля воздуха объёмом $V_1 = 20$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 13,4 \ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, а $T = 300 \ \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $20100$ Дж.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение$\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2},$где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6$ град/$\text{мин}^2$— угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^\circ$. Ответ дайте в минутах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $192$ мг. Период его полураспада составляет $10$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $6$ мг.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии $4$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $28$ километров?

Сила тока $I ($в $A)$ в электросети вычисляется по закону Ома$: I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение электросети (в В), $R$ — сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $5$ А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением $220$ В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_{1} = 36$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $R_{2}$(в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $20$ Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}$, где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $299$ МГц. Скорость погружения батискафа $v ($в м/с) вычисляется по формуле $v = c \cdot \dfrac{f - f_{0}}{f + f_{0}}$, где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_{0}$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна $5$ м/с. Ответ дайте в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v ($в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f ($в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $f_{0} = 160$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 8$ м/с и $v = 11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170$ Гц? Ответ дайте в м/с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
$f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким?

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.$ Определите время $t$, если за это время автомобиль проехал $90$ метров.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H = H_0 + bt + at^2,$ где $H$ — высота столба воды (в м), $H_0 = 8$ м, $a = \dfrac{1}{72}$ м/мин$^2$, $b = -\dfrac{2}{3}$ м/мин, $t$ — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите время $t$ (в минутах), если он удалился на $72$ км.