Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Призма (2 часть)

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите, что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна $8$, а боковое ребро $AA1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причем $CM=1$.

а) Точки $O$ и $O_1$ - центры окружностей, описанных около треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD=5$ и $BC=4$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $4:1$, точка $K$ — середина $DD_1$.
а) Доказать, что плоскость $MCK$ параллельна стороне $BD$.
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD=60$, а $\angle CKM=90$.

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите,что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$  — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $K$ – середина ребра $A_1B_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $K$ и $C$.

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $12$.

В правильной треугольной призме $ABC_1A_1B_1C_1$ все ребра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$.
a) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $\alpha$, если все ребра призмы равны $16$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 3 : 1$, а точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AA_1 = 5$, $AB = 12$, $\cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$.

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{5}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K : KD_1 = 2 : 1$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=BN=3$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $CMN$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $CMN$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный $(AB=BC)$ треугольник $ABC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.
а) Докажите, что $KM\perp AC$.
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6$, $AC=8$ и $AA_1=3$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $2$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $5$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=2:3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $12$, а высота призмы равна $2$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $AA_1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причём $CM=1$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=3:1$, а точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AA_1=5$, $AB=12$, $\cos\angle ABC=\dfrac{3}{5}$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.