Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Призма (2 часть)

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $4$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $16$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=1:3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5$ и $BC=3$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC$, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $K$ и $L$ на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $BK=4KB_1$, $B_1L=LA_1$. Через точки $K$ и $L$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $AA_1B_1B$.
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $10$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $K$ и $L$ на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $BK=6KB_1$, $B_1L=LA_1$. Через точки $K$ и $L$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AA_1B_1B$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $14$.

Дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $L$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AL:LB=3:2$. Точка $G$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BG:GC=4:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $G$ и $L$ и пересекает рёбра $B_1C_1$ и $A_1B_1$ в точках $T$ и $P$ соответственно. Известно, что $B_1T:TC_1=3:2$.
а) Докажите, что $GL\perp AB$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB=8$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $F$ и $G$ соответственно, причём $BF=C_1G=3$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $F$ и $G$.
а) Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB=9$, а боковое ребро $AA_1$ равно $3$. На рёбрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $F$ и $G$ соответственно, причём $BF=C_1G=4$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $F$ и $G$.
а) Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ взяты точки $M$, $K$ и $N$ соответственно. Причём $B_1K:KC_1=1:4$, а $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $5$.
а) Докажите, что $N$ — середина $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $144$, а её высота равна $3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ взяты точки $M$, $K$ и $N$ соответственно. Причём $B_1K:KC_1=1:7$, а $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $12$.
а) Докажите, что $N$ — середина $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $126$, а её высота равна $7$.

Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $D$, не лежащая в плоскости треугольника, взята таким образом, что $\cos\angle DAC=\cos\angle DAB=0{,}4$.
а) Докажите, что прямые $DA$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $DA$ и $BC$, если $AB=4$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=6$. Боковое ребро пирамиды равно $8$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:3$. Через точку $T$ проведена плоскость, параллельная прямым $AC$ и $BD$.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AQ=8QA_1$, $A_1R=RB_1$. Через точки $Q$ и $R$ провели плоскость $\beta$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\beta$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\beta$, если все рёбра призмы равны $18$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $8$ и $AB=3$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $10$ и $AB=4$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ высота $AA_1$ в $1{,}5$ раза больше стороны $AB$ основания $ABC$. Через прямую $A_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ACB_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $\alpha$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=3:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в такой точке $N$, что $B_1N:NC_1=1:2$.
б) Найдите угол между плоскостями $EFF_1$ и $\alpha$, если $AB=\sqrt{10}$, $AA_1=4$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=4:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $\alpha$, если $AB=4$, $AA_1=15$.

В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна $4$, а боковое ребро $AA_1$ равно $6$. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$ соответственно отмечены точки $N$, $K$ и $P$ так, что $CK:KC_1=B_1N:NB=B_1P:PA_1=1:2$. Плоскость $KNP$ пересекает ребро $A_1C_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что точка $F$ — середина ребра $A_1C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $ANK$.

В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна $2\sqrt{2}$, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt{2}$. На рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$ соответственно отмечены точки $N$, $K$ и $P$ так, что $AN:NA_1=B_1K:KB=C_1P:PA_1=2:1$. Плоскость $KNP$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $CNK$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $4$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $24$, а высота призмы равна $3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=2:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $5$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $20$, а высота призмы равна $2$.

На рёбрах $AB$ и $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=2:1$ и $B_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TB_1$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ является серединой отрезка $AT$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=42$, $AA_1=3\sqrt{7}$.

На рёбрах $AB$ и $A_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=1:2$ и $A_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TA_1$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ делит это ребро в отношении $2:1$, считая от точки $A$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6\sqrt{7}$, $AA_1=3$.

Основанием четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.
а) Докажите, что если $c=4b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, относятся как $3:2$.
б) Объёмы многогранников $DA_1D_1CB_1C_1$ и $ADA_1BCB_1$, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, соответственно равны $30$ и $20$. Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $CD=5$, а $AD=4$.