Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Призма (2 часть)

Основанием четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.
а) Докажите, что если $c=2b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, относятся как $5:4$.
б) Объёмы многогранников $DA_1D_1CB_1C_1$ и $ADA_1BCB_1$, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, соответственно равны $50$ и $40$. Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $CD=3$, а $AD=2$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота $AA_1$ равна $3\sqrt{5}$, $BC=CD=6$, а четырёхугольник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB=5$ и $AE=4\sqrt{5}$.
а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота равна $2\sqrt{3}$, треугольник $BCD$ — правильный, со стороной $6$, а четырёхугольник $ABDE$ — равнобедренная трапеция со сторонами $AB=DE=2$, $BD=6$ и $AE=4$.
а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $12$, а боковое ребро $AA_1$ равно $6$. На ребре $B_1C_1$ отмечена точка $L$ так, что $B_1L=2$. Точки $K$, $M$ — середины рёбер $AB$ и $A_1C_1$ соответственно. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $M$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $2\sqrt2$. На рёбрах $AB$, $A_1B_1$ и $B_1C_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=B_1N=C_1K=2$.
а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $(MNK)$ с ребром $AC$. Докажите, что $MNKL$ — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $(MNK)$.