Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Пирамида (2 часть)

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{7}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K:KD_1=1:2$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2$, $SO=3$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{3}$, $SO=9$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ высота $AA_1$ в $1{,}25$ раза больше стороны $AB$ основания $ABC$. Через прямую $A_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ACB_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $12:13$.
б) Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $\alpha$.

В правильной пирамиде $SABCDEF$ высота $SO$ в $3$ раза больше стороны основания. На ребре $SC$ отметили такую точку $N$, что треугольник $BDN$ равносторонний.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $AFN$ и $ABC$.

В правильной пирамиде $SABCDEF$ высота $SO$ в $3$ раза больше стороны основания. На ребре $SC$ отметили такую точку $N$, что треугольник $BDN$ равносторонний.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $FDN$ и $ABC$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF=FC$.
а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:PS$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:3$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $CF=2FB$.
а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:AS$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=1:2$, $CF:FS=2:7$.
а) Докажите, что плоскости $ABC$ и $FNK$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $AFNK$, если $AB=AS=6$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=3:1$, $CF:FS=3:13$.
а) Докажите, что прямая $AS$ параллельна плоскости $FNK$.
б) Найдите объём пирамиды $SFNK$, если $AB=AS=8$.

В правильной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ на стороне основания $AC$ и боковом ребре $SB$ отметили соответственно точки $E$ и $N$ такие, что $AE:EC=SN:NB=1:2$. Через точки $E$ и $N$ параллельно прямой $AB$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$ на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка $A$, если $AB=6$, $AS=3\sqrt{3}$.

В правильной пирамиде $SABC$ на стороне $BC$ основания $ABC$ и боковом ребре $AS$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ такие, что $BP:PC=AK:KS=2:1$. Через точки $P$ и $K$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP=1{,}3AB$. Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $BCP$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит апофему грани $BCP$ в отношении $119:25$, считая от точки $P$.
б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP:AB=3:4$. На апофеме грани $BCP$ отметили точку $K$, которая делит эту апофему в отношении $1:4$, считая от точки $P$. Через точки $A$ и $K$ параллельно прямой $BC$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна апофеме грани $BCP$.
б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер $BC$ и $CD$ параллельно прямой $SC$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AS$ делит это ребро в отношении $1:3$, считая от вершины $S$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=4$, $AS=3\sqrt{2}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. На ребре $SA$ отмечена точка $K$ такая, что $KS=1{,}5$. Через точку $K$ и середины рёбер $BC$ и $CD$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CS$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=4\sqrt{2}$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=9$, $BC=7$, $SO=6$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=8{,}5$, $BC=7{,}5$, $SO=6{,}5$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания $6$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $4$ и стороной основания $2\sqrt{3}$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости $\alpha$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.
б) Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что $SA=SC=10\sqrt2$, $SB=20$ и $AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.