Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача, Пирамида (2 часть)

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=4$, $BC=4\sqrt{2}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ$.
б) Найдите угол между плоскостями $SBA$ и $SBC$, если $SD=8$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=12$, $BC=10$, $SO=9$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $9\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{128\sqrt{3}}{3}$?

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{32\sqrt{6}}{3}$?

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На ребре $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении ребра $BC$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $CM=CN=2$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $9$, а боковое ребро $SA$ равно $10$. На ребре $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении ребра $BC$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $CM=CN=3$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $BC$ и пересекает рёбра $SA$ и $SD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $BC=BK=CL=4KL$.
а) Докажите, что $SK:KA=SL:LD=1:3$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $AB=BK=AM=3KM$.
а) Докажите, что $SK:KC=SM:MD=1:2$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $P$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $P$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{256\sqrt{6}}{3}$?

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $P$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $8\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $P$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{500\sqrt{6}}{3}$?

Дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $L$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AL:LB=8:1$. Точка $G$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BG:GC=2:7$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $G$ и $L$ и пересекает рёбра $B_1C_1$ и $A_1B_1$ в точках $T$ и $P$ соответственно. Известно, что $B_1T:TC_1=7:2$.
а) Докажите, что $GL\perp AB$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $D$, не лежащая в плоскости треугольника, взята таким образом, что $\cos\angle DAC=\cos\angle DAB=0{,}3$.
а) Докажите, что прямые $DA$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $DA$ и $BC$, если $AB=3$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=12$. Боковое ребро пирамиды равно $18$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:5$. Через точку $T$ проведена плоскость, параллельная прямым $AC$ и $BD$.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В тетраэдре $DABC$ точка $M$ лежит на ребре $AB$, причём $AM=\dfrac{1}{3}AB$, точка $N$ — середина медианы $AF$ грани $ABC$, а точка $K$ — середина медианы $AL$ грани $ADB$. Через точки $M$, $K$ и $N$ проведена плоскость.
а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $MKN$.
б) В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

Через точку, делящую ребро правильного тетраэдра в отношении $1:4$, проведена плоскость, перпендикулярная к этому ребру.
а) Докажите, что плоскость сечения делит одно из рёбер в отношении $2:3$.
б) В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

В правильной треугольной пирамиде $DABC$ с основанием $ABC$ сторона основания равна $7\sqrt{3}$, а высота пирамиды равна $24$. На рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ соответственно отмечены точки $M$, $N$, $K$ так, что $AM=AN=2\sqrt{3}$ и $AK=\dfrac{50}{7}$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $DBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $DBC$.

В правильной треугольной пирамиде $DABC$ с основанием $ABC$ сторона основания равна $5\sqrt{3}$, а высота пирамиды равна $12$. На рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ соответственно отмечены точки $M$, $N$ и $K$ так, что $AM=AN=2\sqrt{3}$ и $AK=5{,}2$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $DBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $DBC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $P$ и $S$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AP=4PA_1$, $A_1S=SB_1$. Через точки $P$ и $S$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $15$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $8$, а боковое ребро — $8\sqrt{2}$. Через вершину $C$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $AS$ и пересекающая ребро $AS$ в точке $M$.
а) Докажите, что отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит высоту $SH$ пирамиды $SABCD$, равно $2:1$, считая от точки $S$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SC$ и $BM$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $10$, а боковое ребро равно $10\sqrt{2}$. Через вершину $C$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $AS$ и пересекающая ребро $AS$ в точке $M$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит высоту $SH$ пирамиды $SABCD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $S$.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BM$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ проведено сечение плоскостью $\alpha$ через точку $M$ на ребре $AS$ параллельно плоскости $SBD$. Все рёбра пирамиды равны между собой.
а) Докажите, что рёбра $AS$ и $SC$ перпендикулярны.
б) Найдите отношение $SM:MA$, если площадь основания пирамиды равна $2025$, а площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ равна $162$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ проведено сечение плоскостью $\alpha$ через точку $M$ на ребре $AS$ параллельно плоскости $SBD$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является прямоугольным треугольником.
а) Докажите, что $\angle ASB=60^\circ$.
б) Найдите отношение $SM:MA$, если объём пирамиды $SABCD$ равен $675$, а объём пирамиды, отсекаемой плоскостью $\alpha$ от пирамиды $SABCD$, равен $100$.

В правильном тетраэдре $DABC$ расположен другой правильный тетраэдр $OA_0B_0C_0$ так, что одна из его вершин совпадает с центром $O$ грани $ABC$, три другие вершины $A_0$, $B_0$ и $C_0$ лежат на апофемах $DA_1$, $DB_1$ и $DC_1$ боковых граней исходного тетраэдра соответственно.
а) Докажите, что отношение рёбер этих тетраэдров равно $3:1$.
б) Найдите объём усечённой пирамиды $A_1B_1C_1A_0B_0C_0$, если $AB=6$.

В правильном тетраэдре $DABC$ расположен другой правильный тетраэдр $OA_0B_0C_0$ так, что одна из его вершин совпадает с центром $O$ грани $ABC$, три другие вершины $A_0$, $B_0$ и $C_0$ лежат на рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ исходного тетраэдра соответственно.
а) Докажите, что отношение рёбер этих тетраэдров равно $2:1$.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды $OBCC_0B_0$, если $AB=12$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{2}$, $SA=3$.