Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №15 Стереометрическая задача

На рёбрах $CD$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $12$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP=4$, $B_1Q=3$. Плоскость $(APQ)$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ делит ребро $CC_1$ пополам.
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $(APQ)$.

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.
б) Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что $SA=SC=10\sqrt2$, $SB=20$ и $AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.