Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №3 Стереометрия

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,A_{1} ,B_{1} ,𝐶_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $9$.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $10$ и $9$. Боковые ребра призмы $\dfrac 2 \pi$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

В правильной четырехугольной призме $𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1} 𝐷_{1}$ известно, что $𝐵𝐷_{1} =2𝐴𝐷$. Найдите угол между диагоналями $𝐷𝐵_{1}$ и $𝐶𝐴_{1}$. Ответ дайте в градусах.

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно $7{,}5$, а сторона основания равна $10$. Найдите высоту пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝐷=26,$ $𝐴𝐶=20$. Найдите длину отрезка $𝑆𝑂$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝐵=29,$ $𝐴𝐶=40$. Найдите длину отрезка $𝑆𝑂$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝑂=18$, $𝑆𝐷=82$. Найдите длину отрезка $𝐴𝐶$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $BB_{1}=2, A_{1} B_{1}=5, A_{1} D_{1}=14$. Найдите длину диагонали $CA_{1}$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $2$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $94\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $48$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $C,A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $2$, а боковое ребро равно $6$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $162$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $29\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен $48$.

В кубе $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между прямыми $BD$ и $A_{1} D_{1}$. Ответ дайте в градусах.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $23\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Высота конуса равна $24$, а диаметр основания равен $20$. Найдите длину образующей конуса.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $144$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B ,C ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $3$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $9$, а боковое ребро равно $8$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $36 \sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,A_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $5$, а боковое ребро равно $6$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен $63$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $12$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?