а) Решите уравнение $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

а) Решим уравнение: $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x;$ $2 \sin x \cdot \left( 1 - \cos^2 x \right) - \sqrt{2} \cos^2 x - 2 \sin x = 0;$ $2 \sin x - 2 \sin x \cdot \cos^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x - 2 \sin x = 0;$ $-2 \sin x \cdot \cos^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0;$ $2 \sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{2} \cos^2 x = 0;$ $\cos^2 x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0.$ Значит: $\cos^2 x = 0;$ $\cos x = 0;$ $x_1 = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}.$ Или: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$ $x_2 = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z},$ $x_3 = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \; m \in \mathbb{Z}.$ б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. Получим числа: $-\dfrac{7\pi}{2}$; $-\dfrac{11\pi}{4}$; $-\dfrac{5\pi}{2}.$ Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$; $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}$; $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\; m \in \mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{7\pi}{2};\; -\dfrac{11\pi}{4};\; -\dfrac{5\pi}{2}.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$. б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

а) В треугольнике $ANB$ имеем: $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD$. Следовательно, он равнобедренный с основанием $AB$, а его медиана $NM$ перпендикулярна ребру $AB$. Аналогично прямая $MN$ перпендикулярна ребру $CD$. б) Плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $MN$, параллельна прямым $AB$ и $CD$, поскольку эти прямые перпендикулярны прямой $MN$. Обозначим точки пересечения рёбер $AC$, $AD$ и $BD$ с плоскостью $\alpha$ через $L$, $P$ и $Q$ соответственно. Тогда четырёхугольник $KLPQ$ является прямоугольником, поскольку его стороны $KL$ и $PQ$ параллельны ребру $AB$, стороны $KQ$ и $LP$ параллельны ребру $CD$, а прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Треугольники $KCL$ и $KBQ$ равносторонние. Следовательно, $KL = KC = 3$, $QK = BK = 1$, а площадь прямоугольника $KLPQ$ равна $KL \cdot KQ = 3$. Ответ: б) $3$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 165 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 99541 балл
Задачи на движение по воде
От пристани $A$ к пристани $B$ , расстояние между которыми равно $323$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $2$ часа после этого следом за ним со скоростью на $2$ км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт $B$ он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
id 101801 балл
Гипербола (обратная пропорциональность)
На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \dfrac{k}{x}$ . Найдите значение $f(30)$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 107271 балл
Функции с натуральным логарифмом
Найдите точку максимума функции $y = 9\cdot\ln(x-4) - 9x - 7$ .
id 113092 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$ .
id 115123 балла
Пирамида (2 часть)
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$ .
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$ .
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$ , если известно, что $BK=1$ , $KC=3$ .