Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Определи область допустимых значений неравенства
$\dfrac{81x^2-90x+25}{\log_3(81-9^x)-\log_3(8\cdot 3^{x+1})}\geq 0.$

Выбери верный вариант ответа.
1. $x\in(-\infty;2)$
2. $x\in(-\infty;1)\cup(1;2)$
3. $x\in(1;2)$
4. $x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$

Найди наибольшее целое число, которое является решением неравенства
$\dfrac{81x^2-90x+25}{\log_3(81-9^x)-\log_3(8\cdot 3^{x+1})}\geq 0.$

Прочитай задачу и дополни решение.

В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. Докажи, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.

Решение:
Пусть ребро куба равно $a$.
Решим задачу методом координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$ (см.рисунок).

Зададим направляющие векторы прямых $B_1N$ и $CM$ и найдём их скалярное произведение. Если скалярное произведение векторов  $\overrightarrow {B_1N}$ и $\overrightarrow {CM}$ равно $0$, то векторы перпендикулярны, а значит, и соответствующие им прямые тоже.

Определим координаты точек $B_1$, $N$, $C$ и $M$.

Выбери верный вариант ответа.

1.$B_1(0;0;a)$, $N\left(\dfrac{a}{2};a;0\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

2.  $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};0\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

3. $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};0\right)$, $C(a;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$.

4. $B_1(0;0;a)$, $N\left(a;\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}\right)$, $C(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}\right)$.

В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. Найди ребро куба, если $B_1N=6$.