Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Решите уравнение $9^{8x-4}=\dfrac{1}{81}$.

Найдите значение выражения $16^{1{,}36}\cdot4^{0{,}28}$.

Два тела массой $m=58$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $Q=mv^2\sin^2\alpha$. Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее $1450$ джоулей?

Моторная лодка в $7{:}00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $27$ км от $A$. Пробыв в пункте $B$ $2$ часа $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $13{:}15$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки $3$ км/ч.

а) Решите уравнение $2\sin^3x+\sqrt{3}\cos^2x=\sqrt{3}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

Решите неравенство $3^x-\dfrac{243}{3^x-36}\leqslant0$.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1620$ тысяч рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $n$-й долг должен быть на $60$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;

— $15$-го числа $n$-го месяца долг составит $240$ тысяч рублей;

— к $15$-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $2736$ тысяч рублей.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{3x-5}\cdot\ln(4x^2-a^2)=\sqrt{3x-5}\cdot\ln(2x+a)$ имеет ровно один корень.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC$.

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$, если $AD=4$ и $AB=5$.

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что $SA=SC=10\sqrt2$, $SB=20$ и $AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($n\geqslant3$) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних справа и слева членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна $60$.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n=8$?

Найди корни уравнения $\log_2(x^2+3x-1)=\log_2(x+2)$.

Запиши в поле ответа верное число. Если корней несколько, укажи в ответ больший корень.

Вероятность того, что случайно вынутый карандаш окажется зелёным, равна $0{,}62$. Вероятность того, что он окажется не красным, равна $0{,}89$. Найди вероятность того, что случайно вынутый карандаш окажется синим.

Найди значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{x^5}\cdot x^\frac{1}{3}}{x^3}$ при $x=2$.

В треугольнике $ABC$ площадь равна $54$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, причём $AD:DB=2:7$. Найди площадь треугольника $ACD$.

На рисунке изображён график производной $f'(x)$ дифференцируемой функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4;6)$. Используя график, определи сумму всех целых значений аргумента, при которых функция $f(x)$ возрастает на указанном интервале.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; -3)$ и $\overrightarrow{b}(k; 4)$. Найди значение $k$, при котором скалярное произведение этих векторов равно $5$.

При запуске водяной ракеты дальность её полёта $L$ (в метрах) зависит от начальной скорости $v_0$ (в м/с) и угла запуска $\alpha$ по формуле
$L=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g},$ где $g=10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения. Найди начальную скорость ракеты $v_0$, если дальность полёта равна $45$ м, а угол запуска $\alpha=15^\circ$.

Даны правильная четырёхугольная призма и правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания призмы в $2$ раза больше стороны основания пирамиды, а высота пирамиды в $3$ раза больше высоты призмы. Найди отношение объёма призмы к объёму пирамиды.

Имеется два раствора кислоты различной концентрации. Если смешать $3$ кг первого раствора и $2$ кг второго, то получится раствор с концентрацией $40\%$. Если же смешать $1$ кг первого раствора и $4$ кг второго, то получится раствор с концентрацией $50\%$. Найди концентрацию первого раствора.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_ax$. Найди $f(8)$.

В коробке лежат $8$ пронумерованных карточек с числами от $1$ до $8$. Из коробки наугад одновременно вынимают две карточки. Найди вероятность того, что сумма чисел на вынутых карточках окажется чётной. Ответ округли до сотых.

$15$ января планируется взять кредит в банке на сумму $2\,400\,000$ рублей на $3$ года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю третьего года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила $3\,120\,000$ рублей. Найди $r$.

Реши уравнение
$2\cos^2 x=\sqrt{3}\sin 2x.$

Выбери верную запись всех корней уравнения.

1. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

2. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

3. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

4. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

Определи количество корней уравнения $2\cos^2 x=\sqrt{3}\sin 2x$ на промежутке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right).$