Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $7$, объем призмы равен $56$. Найдите боковое ребро.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $80\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $\\0{,}9$. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле $T(t) =T_0 +bt+at^{2}$, где $t$ - время в минутах, $T_{0} =1300~К$, $a=-\frac{14}{3}~К/мин^{2}$, $b=98~К/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1720~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,𝐵,𝐶,𝐶_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $7$, а боковое ребро равно $6$.

Цилиндр описан около шара. Объем шара равен $50$. Найдите объем цилиндра.

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $16$ см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $2$ раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна $\\0{,}25$. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна $\\0{,}15$. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $D,E,F,D_{1},E_{1} ,F_{1}$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $9$.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $37$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A, D, A_{1}, B, C, B_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, у которого $AB=3,AD=4,AA_{1} =5.$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $BB_{1} =16, A_{1} B_{1}=2, A_{1} D_{1}=8.$ Найдите длину диагонали $AC_{1}$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоты (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $30$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $252$.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна $2$, боковое ребро равно $5$. Найдите её объём.

В коробке $\\8$ синих, $\\6$ красных и $\\11$ зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен $36$.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $\\0,5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше $\\0,8$?

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в $11$ раз, его высота останется прежней?

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен $3$. Объем параллелепипеда равен $36$. Найдите высоту цилиндра.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $C,A_{1},B_{1},C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $4$, а боковое ребро равно $9$.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $\\0{,}8$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} =170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_{0}\cdot \frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), $u=12$ м/с и $v=6$ м/с - скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $с$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен $25$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $\\0,8$. Найдите вероятность того, что стрелок попадает в первую мишень и не попадает в три последние.