В основании правильной треугольной призмы \(𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}\) лежит треугольник \(𝐴𝐵𝐶\). На прямой \(𝐴𝐴_1\) отмечена точка \(𝐷\) так, что \(𝐴_{1}\) - середина \(𝐴𝐷\). На прямой \(𝐵_{1} 𝐶_{1}\) отмечена точка \(𝐸\) так, что \(𝐶_{1}\) - середина \(𝐵_{1} 𝐸\). а) Докажите, что прямые \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) и \(𝐷𝐸\) перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми \(𝐴𝐵\) и \(𝐷𝐸\), если \(𝐴𝐵=4\), а \(𝐴𝐴_{1} =1\).

а) Прямая \(𝐴𝐷\) перпендикулярна плоскости \(𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}\), поэтому проекцией прямой \(𝐷𝐸\) на эту плоскость является прямая \(𝐴_{1} 𝐸\). Заметим, что в треугольнике \(𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}\) медиана \(𝐴_{1} 𝐶_{1}\) равна половине стороны \(𝐵_{1}𝐸\), поэтому треугольник \(𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}\) прямоугольный с прямым углом \(𝐴_{1}\). Тогда: \(\left\{ \begin{array}{l} {DA}_{1} \text{ - перпендикуляр} \\ DE \text{ - наклонная} \\ {EA}_{1} \text{ - проекция} \\ {EA}_{1} \perp A_{1}B_{1} \end{array}\right. \Rightarrow \text{ по ТТП } DE \perp {A}_{1}{B}_{1} \Rightarrow \text{Ч.Т.Д.}\) б) \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐸,𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐷\), следовательно \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно плоскости \(𝐴_{1} 𝐷𝐸\). Так как \(𝐴𝐵||𝐴_{1} 𝐵_{1}\), то и \(𝐴𝐵\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐷𝐸\). Значит, \(𝐴𝐻\) общий перпендикуляр (\(𝐴𝐻\) перпендикулярно \(𝐷𝐸\) по построению, а \(𝐴𝐻\) перпендикулярно \(𝐴𝐵\), т.к. \(𝐴𝐻\) принадлежит \(𝐴_{1} 𝐷𝐸)\). Рассмотрим треугольник \(ADE\): его площадь равна: \(0,5\cdot AH\cdot DE=0,5\cdot AD\cdot A_{1} E\) Выразим \(AH\): \(AH=\frac{AD\cdot A_{1} E}{DE}\) \(A_{1} E=4\sqrt{3}\) из треугольника \(B_{1} A_{1} E\) по теореме Пифагора, \(DE=7\) из треугольника \(A_{1} DE\) по теореме Пифагора, тогда: \(AH=\frac{8}{7}\sqrt{3}\) Ответ: \(\frac{8}{7}\sqrt{3}\).

Решите неравенство \(\dfrac{\log_8x}{\log_8\frac{x}{64}}\geq\dfrac{2}{\log_8x}+\dfrac{3}{\log_8^2x-\log_8x^2}\).

\(\frac{\log_8x}{\log_8\frac{x}{64}}\geq\frac{2}{\log_8x}+\frac{3}{\log_8^2x-\log_8x^2}\) Ограничение: \(x>0\) \(\frac{\log_8x}{\log_8x-2}\geq\frac{2}{\log_8x}+\frac{3}{\log_8^2x-2\log_8x}\) Пусть \(t=\log_8x\) \(\frac{t}{t-2}\geq\frac{2}{t}+\frac{3}{t^2-2t}\\ \frac{t}{t-2}-\frac{2}{t}-\frac{3}{t(t-2)}\geq 0\) Приведем к общему знаменателю: \(\dfrac{t\cdot t-2(t-2)-3}{t(t-2)}\geq 0\\ \dfrac{t^2-2t+4-3}{t(t-2)}\geq 0\\ \dfrac{t^2-2t+1}{t(t-2)}\geq 0\\ \dfrac{(t-1)^2}{t(t-2)}\geq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t 2 \end{array} \right.\) Обратная замена: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \log_{8} x 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x 8^{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x 64 \end{array} \right.\) \(x\in (-\infty;1)\cup\) {\(8\)} \(\cup (64;+\infty)\) Учитывая ограничения: \(x\in (0;1)\cup\) {\(8\)} \(\cup (64;+\infty)\) Ответ: \(x\in (0;1)\cup\) {\(8\)} \(\cup (64;+\infty)\)

\(15\)-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере \(1\) млн. рублей. Условия его возврата таковы: — \(1\)-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где \(r\) — целое число; — со \(2\)-го по \(14\)-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — \(15\)-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Дата | \(15.01\) | \(15.02\) | \(15.03\) | \(15.04\) | \(15.05\) | \(15.06\) | \(15.07\) Долг (в млн рублей) | \(1\) | \(0,6\) | \(0,4\) | \(0,3\) | \(0,2\) | \(0,1\) | \(0\) Найдите наибольшее значение \(r\), при котором общая сумма выплат будет меньше \(1,2\) млн. рублей.

Пусть \(S\) - сумма долга \(S=1\) млн. руб. \(r\%\) (увеличение долга в \(\%\)) Начисление \(%\): \((1+\frac{r}{100})\) \(n\) - количество месяцев \(n=6\) \(X\) - выплата \(A\) - общая сумма выплат \(A=1,2\) млн. руб. Спустя \(1\) месяц долг составит: \(1\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1=0,6,\) то есть: \(x_1=1\cdot (1+\frac{r}{100})-0,6\) Спустя \(2\) месяца долг составит: \(0,6\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2=0,4,\) то есть: \(x_2=0,6\cdot (1+\frac{r}{100})-0,4\) Спустя \(3\) месяца долг составит: \(0,4\cdot (1+\frac{r}{100})-x_3=0,3,\) то есть: \(x_3=0,4\cdot (1+\frac{r}{100})-0,3\) Спустя \(4\) месяца долг составит: \(0,3\cdot (1+\frac{r}{100})-x_4=0,2,\) то есть \(x_4=0,3\cdot (1+\frac{r}{100})-0,2\) Спустя \(5\) месяцев долг составит: \(0,2\cdot (1+\frac{r}{100})-x_5=0,1,\) то есть: \(x_5=0,2\cdot (1+\frac{r}{100})-0,1\) Спустя \(6\) месяцев долг составит: \(0,1\cdot (1+\frac{r}{100})-x_6=0,\) то есть: \(x_6=0,1\cdot (1+\frac{r}{100})\) Тогда: \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6<1,2\\ (1+\frac{r}{100})\cdot (1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)<1,2\\ 2,6\cdot (1+\frac{r}{100})-1,6<1,2\\ 2,6\cdot (1+\frac{r}{100})<2,8\\ 1+\frac{r}{100}<\frac{28}{26}\\ \frac{r}{100}<\frac{1}{13}\\ r<\frac{100}{13} \\ r < 7\frac{9}{13}\) Значит, наибольшее целое \(r=7\). Ответ: \(7\)

Прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) вписан в окружность. Биссектриса угла \(A\) пересекает описанную окружность в точке \(A_{1}\), биссектриса угла \(B\) пересекает описанную окружность в точке \(B_{1}\), биссектриса угла \(C\) пересекает описанную окружность в точке \(C_{1}\). а) Докажите, что угол \(A_{1} BB_{1} =45^{\circ }\). б) Известно, что \(AB=2\sqrt{3}\), \(\angle A=60^{\circ }\). Найдите \(B_{1} C_{1}\).

а) Углы \(A_{1} BC\) и \(A_{1} AC\) равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно: \(\angle A_{1} BB_{1} =\angle A_{1} AC+\angle CBB_{1} =\frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle B=\frac{1}{2}( \angle A+\angle B) =45^{\circ }\) б) Вычислим угол \(B\): \(\angle B=90^{\circ } -\angle A=30^{\circ }\) Вычислим угол \(B_{1} A_{1} A\): \(\angle B_{1} A_{1} A=\angle B_{1} BA=\frac{1}{2} \cdot 30^{\circ } =15^{\circ }\) Вычислим угол \(AA_{1} C_{1}\): \(\angle AA_{1} C_{1} =\angle ACC_{1} =\frac{1}{2} \cdot 90^{\circ } =45^{\circ }\) таким образом, \(\angle B_{1} A_{1} C_{1} =60^{\circ }\). По теореме синусов имеем: \(B_{1} C_{1} =2R\sin \angle B_{1} A_{1} C_{1}\) где \(R\) - это радиус описанной около треугольника \(A_{1} B_{1} C_{1}\) окружности и \(2R=AB\). Таким образом, \(B_{1} C_{1} =2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =3\) Ответ: \(3\)

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x+\frac{a^2}{x}+1|+|x+\frac{a^2}{x}-1|=2\) имеет хотя бы один корень.

Сделаем замену: \(x+\frac{a^{2}}{x} =t\). Получаем следующее уравнение \(|t+1|+|t-1|=2\). Посмотрим все возможные раскрытия: \(t+1+t-1=2~ здесь~ t=1 при ~t >1\\ t+1-t+1=2~ здесь~ t\in R~ при~ t\in [ -1;1]\\ -t-1-t+1=2~ здесь~t=-1~ при~ t< -1\) Если \(x+\frac{a^{2}}{x}\) будет лежать в следующих значениях \(-1\leq x+\frac{a^{2}}{x} \leq 1\), то мы получим корни. Теперь мы узнаем промежутки, в которых может лежать функция \(x+\frac{a^{2}}{x}\): \(x+\frac{a^{2}}{x} =k\\ \frac{x^{2} -kx+a^{2}}{x} =0\) Это может быть, когда \(\begin{cases} x^{2} -kx+a^{2} =0\\ x\neq 0 \end{cases}\\ D\geq 0\\ k^{2} -4a^{2} \geq 0\\ ( k-2a)( k+2a) \geq 0\) \(k\in ( -\infty ;-2|a|] \cup [ 2|a|;+\infty )\) Для того, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, должно выполняться следующее условие: \(-1\leq -2|a|~или~ 1\geq 2|a|\) То есть, когда \(\frac{1}{2} \geq |a|\) это может происходить в промежутке \([ -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2}]\). Ответ: \(-\frac{1}{2} \leq a\leq \frac{1}{2}\).