Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10. а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) -7, -4, 6. Пусть было задумано n чисел. Тогда на доску будет выписано \(n+C^2_n+C^3_n+\dots +C^n_n=2^n-1\) чисел. У нас набор из семи чисел, значит задумано было три числа. Все три отрицательные они быть не могли, иначе не было положительной суммы, если положительных чисел было бы два, то вместе с их суммой на доске было бы хотя бы три положительных числа. Значит положительное число было загадано одно единственное, при чем оно может быть только наибольшим в наборе (его сумма с любыми другими числами будет меньше него) и это число 6. Число -11 наименьшее соответственно должно быть получено как сумма двух отрицательных чисел \(-\) среди чисел на доске такие только -7 и -4. б) 5. Пусть для некоторого набора чисел, среди которых нет нуля, количество нулей на доске равно \(k\). Если добавить в этот набор ноль, то на доске добавится сам этот ноль, и \(k\) нулевых сумм, которые получены из старых нулевых сумм прибавлением к ним нового нуля. Тогда, если в наборе есть ноль (а сказано, что числа различны, значит он максимум один), то количество нулевых сумм \(2k+1\) \(-\) нечетное число. Значит в исходном наборе нуля не было. Пусть задумано не больше 4 чисел. Ноль мы можем получить из суммы некоторого количества отрицательных чисел с некоторым числом положительных. Пусть (в силу симметрии) отрицательных чисел не больше двух. Тогда разных наборов отрицательных чисел не больше трех — это сами отрицательные числа и их сумма. В таком случае мы получим не более трех нулей, так как при таких малых количествах чисел суммы положительных чисел так же будут различны (в суммах по два хотя бы одно будет повторяться, и может быть еще сумма из трех чисел, большая любых предыдущих сумм) и у нас не может оказаться более трех пар противоположных чисел. В таком случае задумано не менее пяти чисел -- пример -2, -1, 1, 2, 3. в) Нет. Например, если на доске написаны числа -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, то задуманы могли быть как числа -3, 1 и 2, так и -2, -1, 3. Ответ: а) -7, -4, 6. б) 5. в) Нет.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на \(150\) качественных сумок приходится \(14\) сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

\(A\) – событие «купленная сумка окажется качественной», \(B\) – событие «купленная сумка окажется со скрытым дефектом». По условию: на \(150\) качественных сумок приходится \(14\) сумок со скрытыми дефектами. Найдём общее число сумок: \(150+14=164\) сумки. Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна отношению числа качественных сумок к общему числу сумок: \(P(A)=\dfrac{150}{164}\approx0{,}9146.\) Округлим результат до сотых: \(P(A)\approx0{,}91.\) Ответ: \(0{,}91\).