Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=6\cdot 10^{−6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=8\cdot 10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0} =34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=aRC\log_{2}\frac{U_{0}}{U}(с)$, где $a=0,8$ - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $76,8$ с. Ответ дайте в киловольтах.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объема конуса равен $57$.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен $12$. Найдите объём шара.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с основанием $𝐴𝐵𝐶𝐷$ боковое ребро $𝑆𝐶$ равно $37$, сторона основания равна $35\sqrt{2}$. Найдите объем пирамиды.

B прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, известно, что $AB = 5, BC = 4, AA_1 = 3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, D, A_1, B_1$.

В коробке$\\12$ синих, $\\6$ красных и $\\7$ зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $\\0,1$. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах равна $\\0,03$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $78^{\circ }$, биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

Груз массой $0,16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_{0}\cos\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ - время с момента начала колебаний, $T=2$ с - период колебаний, $v_{0} =1,5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^{2}}{2}$, где $m$ - масса груза в килограммах, $v$ - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $20$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Водолазный колокол, содержащий $\nu=2$ моля воздуха при давлении $p_1=1,6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $А=a\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a=6,2\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $Т= 300$ К - температура воздуха. Найдите какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $11160$ Дж.

В коробке $5$ синих, $9$ красных и $11$ зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что $6$ очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна восьми».

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей – $1$ очко, если проигрывает – $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0{,}6$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше $0{,}8$?

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0{,}01$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0{,}95$. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0{,}05$. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ г, равна $0,96$. Вероятность того, что масса окажется больше, чем $790$ г, равна $0,82$. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем $790$ г, но меньше, чем $810$ г.

Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0,8$. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью $0{,}6$. Если А играет чёрными, то А выигрывает у Б с вероятностью $0{,}45$. Шахматисты А и Б играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0{,}06$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0{,}85$. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0{,}07$. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна $0,7$. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала $f_0=120$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ $–$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ и $v=7$ $–$ скорость приемника и источника относительной среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала приемника $f$ будет не менее $125$ Гц?

Найдите корень уравнения $\log_4(12+4x)=3$.

Найдите корень уравнения $\log_2(-3x+8)=7$.

Найдите корень уравнения $5^{x+1}=5$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{2x+31}=9$.