Решите неравенство: \((4^{x^2-x-6}-1)\cdot\log_{0,25}(4^{x^2+2x+2}-3)\leq 0\).

Ограничения: \(4^{x^2+2x+2}-3>0\\ 4^{x^2+2x+2}>3\\ 4^{x^2+2x+2}>4^{\log_43}\\ x^2+2x+2>\log_43\\ x^2+2x+1+1>\log_43\\ (x+1)^2>\log_4 3-1\) Левая часть неравенства всегда больше или равна \(0\). Правая часть неравенства всегда меньше нуля (так как \(\log_43 0-при~любых~x\) Переходим к исходному неравенству: \(\left( 4^{x^{2} -x-6} -1\right) \cdot \log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) \leq 0\\ \left( 4^{x^{2} -x-6} -4^{0}\right) \cdot \left(\log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) -0\right) \leq 0\\ \left( x^{2} -x-6-0\right) \cdot \left(\log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) -\log_{\frac{1}{4}} 1\right) \leq 0\) Так как логарифм по основанию \(\frac{1}{4}\) монотонно убывает, то равносильно: \(\left( x^{2} -x-6\right) \cdot ( 0,25-1)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3-1\right) \leq 0\\ \left( x^{2} -x-6\right)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3-1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -4^{1}\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( x^{2} +2x+2-1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( x^{2} +2x+1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)( x+1)^{2} \geq 0\) Ответ:\(x\in (-\infty;-2]~\cup\) {\(-1\)} \(\cup ~[3;+\infty)\)

\(15\)-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы: - \(1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(5\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; - со \(2\)-го по \(14\)-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - \(15\)-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15\)-е число предыдущего месяца; На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет на \(25\%\) больше суммы, взятой в кредит?

Пусть кредит брали на \(n\) месяцев на сумму \(S\) тысяч рублей. Так как каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, при чем по истечении \(n\) месяцев сумма долга составила \(0\) тысяч рублей, ежемесячное уменьшение долга составляет \(\frac{S}{n}\) тысяч рублей. Это значит, что суммы долга на 15-е числа месяцев, начиная с января составят соответственно \(S\), \(S−\frac{1S}{n}\), \(S−\frac{2S}{n}\), ... , \(S−\frac{(n−1)S}{n}\), иначе говоря \(S\), \(\frac{S(n−1)}{n}\), \(\frac{S(n−2)}{n}\), ... , \(\frac{S}{n}\) . Сумма всех платежей делится на погашение самого кредита (\(S\)) и процентов по кредиту. Проценты по кредиту (по условию они равны \(1,25S-S=0,25S\)) это прирост суммы долга на 1-е число каждого месяца, по сравнению с предыдущим: \(0,05S + 0,05\frac{S(n−1)}{n}+0,05\frac{S(n−2)}{n}+⋯+0,05\frac{S}{n}\) Используя формулу арифметической прогрессии и приравнивая полученную сумму к \(0,25S\) получаем: \(0,05\frac{S+\frac{S}{n}}{2}n=0,25S\\ Sn+\frac{S}{n}n=10S\\ n+1=10\\ n=9\) Ответ: \(9\)

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно. а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\). б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(B_1C_1=5\), \(\angle A=30^\circ\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в пять раз меньше площади четырехугольника \(BCB_1C_1\).

а) Доказать, что \(\Delta ABC\sim\Delta AB_1C_1\) Проведем \(B_1C_1\) \(CB_1C_1B\) – вписанный четырехугольник Пусть \(\angle CBA=\alpha\), Тогда \(\angle CB_1C_1={180}^{\circ}-\alpha\) \(\angle C_1B_1A={180}^{\circ}-({180}^{\circ}-\alpha)=\alpha\) (смежный с \(\angle CB_1C_1\)) \(\angle A\) о общий у \(\Delta ABC~\Delta AB_1C_1\) и \(\angle C_1B_1A=\angle CBA\) \(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AB_1C_1\) по двум углам б) \(BC-? R-?\) \(\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{BCB_1C_1}}=\frac{1}{5}\) Тогда \(\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}\), коэффициент подобия \(=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) \(BC=\sqrt{6}\cdot {B_1C}=5\sqrt{6}~(подобие)\) По теореме синусов (\(\Delta AB_1C_1\)) \(R_{B_1C_1A}=\frac{5}{2\sin {30}^{\circ}}=5\) По теореме синусов (\(\Delta CB_1B\)) \(R=\frac{BC}{2\sin CB_1B}=\frac{BC}{2\sin\beta}\\ \angle BB_1A={180}^{\circ}-\beta\) Теорема синусов для \(\Delta BB_1A\) \(\frac{AB}{\sin\beta}=\frac{BB_1}{\sin {30}^{\circ}}\) Теорема косинусов для \(\Delta BB_1A\) Пусть \(AB_1=x\), \(AB=x\sqrt{6}\) \(BB_1^2=x^2+6x^2-2\cdot x\cdot x\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7x^2=3x^2\sqrt{2}=x^2(7-3\sqrt{2})\\ BB_1=x\sqrt{7-3\sqrt{2}}\\ \frac{AB}{\sin\beta}=\frac{BB_1}{\sin {30}^{\circ}}, отсюда\\ \sin\beta=\frac{AB\cdot\sin 30}{BB_1}=\frac{x\sqrt{6}}{2\cdot x\sqrt{7-3\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7-3\sqrt{2}}}\\ R=\frac{5\sqrt{6}}{2\sin\beta}=\frac{5\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{7-3\sqrt{2}}}{2\sqrt{6}}=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}\) Ответ: \(5\sqrt{7-3\sqrt{2}}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}\) имеет ровно два различных корня.

\(|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}\\ |x-a||x+a|-|x+a|\sqrt{x^2-4ax+5a}=0\\ |x-a|\left(|x+a|-\sqrt{x^2-4ax+5a}\right)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} |x-a|=0\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|-\sqrt{x^{2} -4ax+5a} =0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|=\sqrt{x^{2} -4ax+5a} \end{array} \right.\) Решим отдельно систему: \(\displaystyle \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a^{2} -4a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ -3a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a( 5-3a) \geq 0 \end{cases}\) Получаем: при \(x=a, a\in \left[0;\frac{5}{3}\right]\) Решим уравнение \(|x+a|=\sqrt{x^2-4ax+5a}\) \(x^2+2ax+a^2=x^2-4ax+5a\\ a^2+6ax-5a=0\\ x=\frac{5a-a^2}{6a}\) Если \(a=0\), то \(x\in R\) \(x=\frac{5-a}{6}\) Найдем совпадение корней: \(a=\frac{5-a}{6}\\ 6a=5-a\\ 7a=5\) При \(a=\frac{5}{7}\) корни совпадают. Получаем: При \(a\leq 0\) одно решение. При \(0 \frac{5}{3}\) одно решение. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при \(a\in\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]\). Ответ: \(\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]\).

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Нет, не вырастет. \(n\) – количество учеников в первой школе, \(S\) – средний балл в первой школе, \(ns\) – сумма баллов в первой школе. Значит \(n–1\) стало, следовательно, стало \(2S\). Получаем, \(2S(n-1)-nS=S(2n-2)-nS=S(2n-2-n)=S(n-2)\). Так как \(n\geq 2\), то \(S(n-2)\geq 0\). Разница не отрицательна, значит, противоречие, так как должна быть отрицательна. б) 1 школа – учеников стало \(n – 1\), значит, стало среднее \(1,1S\), следовательно \((n - 1)\cdot 1,1S\) – баллов стало. \(nS – (n – 1)\cdot 1,1S = S(n – 1,1n + 1,1) = S(1,1 – 0,1n)\) – столько баллов у ушедшего ученика. 2 школа – \((51 – n)\) было количество учеников, стало \(52 – n\), средний балл был \(1\), стало \(1,1\). Получаем уравнение: \((51-n)+S(1,1-0,1n)=(52-n)\cdot 1,1\leftrightarrow S(1,1-0,1n)=57,2-1,1n-51+n\leftrightarrow 1,1S-0,1Sn=\\ =6,2-0,1n\leftrightarrow 1,1S-6,2=0,1n(S-1)\leftrightarrow 11S-62=n(S-1)\leftrightarrow n=\\ =\frac{11S-62}{S-1}=11-\frac{51}{S-1},\) нам подходят \(S:2,4,18,52\) для натурального \(n\). Нам не подходят все числа для \(S\) в формуле \(S(1,1-0,1n)\), следовательно, такое быть не может. в) Пусть \(T \ -\) средний бал во 2-ой школе. Допустим, что был \(T\), а стало \(1,1T\), тогда получим формулу: \((51-n)\cdot T+S(1,1-0,1n)=(52-n)\cdot 1,1T\leftrightarrow 1,1S-0,1Sn=6,2T-0,1nT\leftrightarrow 11S-Sn=\\ =62T-nT\leftrightarrow S(11-n)=T(62-n)\leftrightarrow 11S-62T=Sn-nT\leftrightarrow 11S-62T=n(S-T)\leftrightarrow n=\\ =\frac{11S-62T}{S-T}=11-\frac{51}{S-T},\) пусть \(T=2\), тогда: \(n=11-51\cdot\frac{2}{S-2}\leftrightarrow\) значения \(S\) для натурального \(n\): \(3,4,5,8,19,36,53,104\), так как \(n\geq 2\), то отпадают значения \(3,4,5,8\). Остальные не подходят под формулу \(S(1,1-0,1n)\). Возьмем \(T=3\), тогда \(n=11-3\cdot 3\cdot\frac{17}{S-3}\), для него подходят \(S\): \(4,6,12,20,24\). Из данного набора нам подходит число \(20\), так же подходит для формулы \(S(1,1-0,1n)\). Тогда было \(2\) человека: \(22\) и \(18\), а во второй школе было \(49\) по \(3\). Тогда получаем формулу: \(\frac{49T+18}{50}=1,1T\leftrightarrow 49T+18=5,5T\leftrightarrow T=3\). Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.