Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Расстояние между А и В $790$ км. Из А в В выехал автомобиль, через $3$ часа навстречу ему выехал второй автомобиль со скорость $75$ км/ч. Они встретились на расстоянии $490$ км от города А. Найти скорость первого автомобиля.

Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $104$ литра она заполняет на $5$ минут дольше, чем вторая труба?

Байдарка в $10{:}00$ вышла из пункта А в пункт В, расположенный в $15$ км от А. Пробыв в пункте В $1$ час $20$ минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в $16{:}00$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки $2$ км/ч.

Первые $200$ км автомобиль ехал со скоростью $60$ км/ч, следующие $180$ км – со скоростью $90$ км/ч, а затем $140$ км – со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Имеется два сосуда. Первый содержит $40$ кг, а второй $25$ кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $30\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\%$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Заказ на $88$ деталей первый рабочий выполняет на $3$ часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на $3$ детали больше, чем второй?

Байдарка в $10:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $15$ км от А. Пробыв в пункте В $1$ час $20$ минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в $18:00$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна $3$ км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 132 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта A в пункт B, расположенный в $35$ км от A. Пробыв в пункте B $4$ часа, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $3$ км/ч.

а) Решите уравнение: $2\cos x-\sqrt{3}\sin^{2} x=2\cos^{3} x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi }{2} ;-2\pi\right]$.

Найдите значение выражения $\log_496-\log_41{,}5$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000~км/ч^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120~км/ч$.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=kx+b$. Найдите значение $f(4)$.

В треугольнике $ABC~AD−$ биссектриса, угол $C$ равен $62^{\circ }$, угол $CAD$ равен $32^{\circ }$. Найдите угол $𝐵.$ Ответ дайте в градусах.

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен $19^{\circ }$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол $ACO$ равен $27^{\circ }$, где $O$ − центр окружности. Его сторона $CA$ касается окружности. Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B$ . Найдите величину меньшей дуги $AB$ окружности. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $2\sqrt{3}$, угол $C$ равен $120^{\circ }$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

В чемпионате по гимнастике участвуют $50$ спортсменок: $18$ из Японии, $15$ из Китая, остальные из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

В треугольнике $\\ABC$ $\\CD\,-$ медиана, угол $\\C$ равен $\\90^{\circ }$, угол $\\B$ равен $\\35^{\circ }$. Найдите угол $\\ACD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC~AC=BC, AB=14, AH-$ высота, $BH=7$. Найдите косинус угла $BAC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=10, BC=\sqrt{19}$. Найдите $\cos A$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}, AB=25, BC=24$. Найдите $\cos A$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $72^{\circ }$, $BD$ и $CE-$ высоты, пересекающиеся в точке $O$. Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.