а) Решите уравнение \(\cos{x}\cdot \cos 2x=\sqrt{2}\sin^2x+\cos x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).

а) \(\cos x\cdot \cos 2x=\sqrt{2}\sin^2x+\cos x\\ 0=\sqrt{2}\sin^2x+\cos x(1-\cos 2x)\\ \sqrt{2}\sin^2x+2\cos x\cdot\sin^2x=0\\ (\sqrt{2}+2\cos x)\sin^2x=0\\ \sin x=0~или~\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=\pi k~или~x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k,k\in Z\) б) Отберём корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) с помощью тригонометрической окружности. Нам подойдут: \(-\pi ,-\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4},-2\pi\) Ответ: а) \(x=\pi k\), \(\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k,k\in Z\); б) \(-\pi\), \(-\frac{5\pi}{4}\), \(-2\pi\)

Решите неравенство: \(\dfrac{9^x+2\cdot 3^x-117}{3^x-27}\leq 1\).

Сделаем замену: \(3^x=t\), \(t>0\): \(\dfrac{t^2+2t-117}{t-27}\leq 1\\ \dfrac{t^2+2t-117-t+27}{t-27}\leq 0\\ \dfrac{t^2+t-90}{t-27}\leq 0\) Сделаем разложение в числителе: \(\dfrac{(t+10)(t-9)}{t-27}\leq 0\) Проведем прямую и отметим точки: \(\Rightarrow t\in [9;27)\) Обратная замена: \(\displaystyle \begin{cases} t\geq 9\\ t< 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3^{x} \geq 3^{2}\\ 3^{x} < 3^{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 2\\ x< 3 \end{cases} \Rightarrow x\in [ 2;3)\) Ответ: \(x\in [ 2;3)\)

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на \(20\%\) по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по \(20\) миллионов рублей в первый и второй годы, а также по \(10\) миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше \(125\) миллионов, а за четыре года станет больше \(200\) миллионов рублей.

\(S\) -- размер первоначальных вложений, \\ \(S \cdot 1,2\) -- начисление процентов. Составим мат. модель, у нас два условия: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} ( S \cdot 1,2+20) \cdot 1,2+20 > 125\\ ((( S \cdot 1,2+20) \cdot 1,2+20) \cdot 1,2+10) \cdot 1,2+10 > 200 \end{array} \right. \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1,44S+44 > 125\\ ((( S \cdot 1,44+44) \cdot 1,2+10) \cdot 1,2 > 190 \end{array} \right. \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1,44S > 81\\ S \cdot 1,2^{4} +75,36 > 190 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1,44S > 81\\ 2,0736S > 114,64 \end{array} \right. \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S > 56\frac{36}{144}\\ S > 55\frac{5920}{20736} \end{array} \right. \end{array}\) Так как по условию \(S\) -- целое, то нам подходит \(S=57\). Ответ: \(57\)