Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $12\pi$, а диаметр основания равен $6$. Назовите высоту цилиндра.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $51\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt[3]{11}}11$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек:$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек:$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

Даны векторы $\\\vec{a}(7;-5)$, $\\\vec{b}(-1;7)$ и $\\\vec{c}(4;-3)$. Найдите длину вектора $\\\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\\\vec{a}$ и $\\\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\\\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^{4}\frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4}}$, где $P$ - мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma =5,7\cdot 10^{−8}$ - постоянная, $S$ - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21}~ м^{2}$, мощность ее излучения равна $4,104 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связанны соотношением $p_{1} V_{1}^{1,4}=p_{2} V_{2}^{1,4}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_{1}$ и $V_{2}$ - объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объем газа равен $294,4$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $128$ атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2,5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите длину вектора $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $78^{\circ}$ и $113^{\circ}$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $32^{\circ }$, углы $B$ и $C$ острые, высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $DOE$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=40, AC=4\sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(14;-2)$ и $\overrightarrow{b}(5;-8)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5;-7)$ и $\overrightarrow{b}(14;1)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=5, BC=\sqrt{21}$. Найдите $\cos A.$

На окружности отмечены точки $A,B$ и $C$. Дуга окружности $AC$, не содержащая точку $B$, составляет $105^{\circ }$. Дуга окружности $BC$, не содержащая точку $A$, составляет $91^{\circ }$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

В ромбе 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол $BCD$ равен $48^{\circ }$. Найдите угол $DBA$. Ответ дайте в градусах.