а) Решите уравнение $\tg^3x+\tg^2x-3\tg x-3=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

а) Ограничение: $\cos x\ne 0$, $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z$. $tg^2x(tgx+1)-3(tgx+1)=0\\ (tgx+1)(tg^2x-3)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} tgx=-1\\ tgx=\sqrt{3}\\ tgx=-\sqrt{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{4} +\pi k,k\in Z\\ x=\frac{\pi }{3} +\pi k,k\in Z\\ x=-\frac{\pi }{3} +\pi k,k\in Z \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{4} +\pi k,k\in Z\\ x=\pm \frac{\pi }{3} +\pi k,k\in Z \end{array} \right.$ б) Отберем корни на промежутке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности. $x=2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\\ x=3\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}\\ x=3\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4}\\ x=3\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$ Нам подходят: $\frac{7\pi}{3}$; $\frac{8\pi}{3}$; $\frac{11\pi}{4}$; $\frac{10\pi}{3}$. Ответ: а) $-\frac{\pi}{4}+\pi k,k\in Z$; $\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,k\in Z$; б) $\frac{7\pi}{3}$; $\frac{8\pi}{3}$; $\frac{11\pi}{4}$; $\frac{10\pi}{3}$.

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в которой $AB=9$, точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM=8$. Точка $K$ делит сторону $SB$ так, что $SK:KB=7:3$. Ребро $SA=\sqrt{43}$. Точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$. а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$. б) Найдите площадь сечения $\alpha$.

а) Пирамида правильная, поэтому высота $SO$ делит медиану/высоту/биссектрису $BL$ в отношении $2 : 1$, то есть: $\frac{BO}{OL} = \frac{2}{1}$ В $(BSL)$ проведем $KH \parallel SO \Rightarrow KH \perp (ABC) \Rightarrow KH \subset \alpha$ Тогда по т. Фалеса для $KH \parallel SO$ и $\angle{SBO}$: $\frac{SK}{KB} = \frac{OH}{HB} \\ \frac{7}{3} = \frac{OH}{HB}$ Пусть $BO = 2x \Rightarrow OL = x \Rightarrow$ $OH + HB = BO = 2x$ Пусть $OH = 7y, \ HB = 3y \Rightarrow$ $OH + HB = 2x = 7y + 3y = 10y \\ 2x = 10y \\ x = 5y \\ \Rightarrow BO = 2x = 10y, \ OL = 5y \\ \Rightarrow HL = HO + OL = 7y + 5y = 12y$ Тогда, если $C \in \alpha$, то справедлива теорема Менелая для треугольника $BLA$ и секущей $MC$: $\frac{BH}{HL} \cdot \frac{LC}{CA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1 \\ \frac{3y}{12y} \cdot \frac{\frac{1}{2}CA}{CA} \cdot \frac{8}{1} = 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 = 1$ Это верно $\Rightarrow C \in \alpha$ ч.т.д. б) $\triangle{KHB} \sim \triangle{SOB}$ по двум углам $(\angle{KHB} = \angle{SOB}$ как соответственные и $\angle{SBO} \ -$ общий$)$ $\Rightarrow \frac{KH}{SO} = \frac{BK}{BS} \\ \frac{KH}{SO} = \frac{3}{10} \\ \Rightarrow KH = \frac{3}{10}SH$ $BL = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ как высота правильного треугольника $\Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}BL = 3\sqrt{3}$ В треугольнике $SOB$ по т. Пифагора: $SO = \sqrt{SB^2-BO^2}=\sqrt{43 - 27} = \sqrt{16} = 4$ $\Rightarrow KH = \frac{3}{10} \cdot 4 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ $CM$ найдем из треугольника $BMC$ по теореме косинусов: $CM^2=1+81-2\cdot 9\cdot 1\cdot \cos60^\circ=73$ Тогда: $S_{MKL} =\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot \sqrt{73} =\frac{3\sqrt{73}}{5}$ Ответ:$\frac{3\sqrt{73}}{5}$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 25 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 117361 балл
Задачи на движение по прямой
Расстояние между А и В $790$ км. Из А в В выехал автомобиль, через $3$ часа навстречу ему выехал второй автомобиль со скорость $75$ км/ч. Они встретились на расстоянии $490$ км от города А. Найти скорость первого автомобиля.
id 261 балл
Прямая (линейная функция)
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$ . Найдите абсциссу точки $A$ .
id 120092 балла
Степенные функции
Найдите наибольшее значение функции $y =x^2-8x+10$ на отрезке $[2;8]$ .
id 120362 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $\tg^3x+\tg^2x-3\tg x-3=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ .
id 1273 балла
Пирамида (2 часть)
Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ , в которой $AB=9$ , точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM=8$ . Точка $K$ делит сторону $SB$ так, что $SK:KB=7:3$ . Ребро $SA=\sqrt{43}$ . Точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$ , которая перпендикулярна плоскости $ABC$ . а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ .
б) Найдите площадь сечения $\alpha$ .