Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $BB_{1}=2, A_{1} B_{1}=5, A_{1} D_{1}=14$. Найдите длину диагонали $CA_{1}$.

Найдите корень уравнения $(x-10)^7=1$.

Найдите значение выражения $\sqrt{3}-\sqrt{12}\sin^2\dfrac{5\pi}{12}$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $2$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $94\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $48$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $C,A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $2$, а боковое ребро равно $6$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $162$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $29\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен $48$.

В кубе $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между прямыми $BD$ и $A_{1} D_{1}$. Ответ дайте в градусах.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $23\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Высота конуса равна $24$, а диаметр основания равен $20$. Найдите длину образующей конуса.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $144$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B ,C ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $3$.

Найдите значение выражения $\lg 250-\lg 2,5$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $9$, а боковое ребро равно $8$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $36 \sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,B,C,A_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$, площадь основания которой равна $5$, а боковое ребро равно $6$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен $63$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $12$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна $85\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $B,A_{1} ,B_{1} ,C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1},$ площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$.

Найдите корень уравнения $\log_2(x+4)=7$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸,𝐹,𝐷_{1}$ правильной шестиугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1} 𝐷_{1} 𝐸_{1} 𝐹_{1}$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $9$.