Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{ \begin{array}{l} ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln (9-x^2-y^2)=0 \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0 \end{array} \right.\) имеет ровно два различных решения.

Преобразуем \((x+5)^{2} +y^{2} -a^{2} =0\Rightarrow ( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) - мы получили уравнение окружности с центром в точке \((-5;0)\) и радиусом \(|a|\). Мы помним, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Пропишем ОДЗ: \(9-x^{2} -y^{2} >0\\ x^{2} +y^{2} < 3^{2}\) Изобразим полученную в ОДЗ окружность пунктирной линией. Например, возьмем \(a=1,( x+y)^{2} +y^{2} =a^{2}\) - данная окружность будет решением обоих уравнений. Получается \(a\) не может быть равно \(1\) или \(-1\). Все, что является частью \(( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) и лежит внутри ОДЗ - и есть решением системы уравнений и имеет бесконечное множество решений, это нам тоже не подходит. Следовательно, нам нужны такие радиусы, чтобы окружности \(( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) не попадали внутрь. ОДЗ. Получается \(r\leq 2;r\geq 8\), значит: \(\begin{cases} |a|\leq 2\\ |a|\geq 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in [ -2;2]\\ a\in ( -\infty ;8] \cup [ 8;+\infty ) \end{cases} \Leftrightarrow a\in ( -\infty ;8] \cup [ -2;2] \cup [ 8;+\infty )\) тогда: \(\begin{cases} \ln( 9-x^{2} -y^{2}) =0\\ x+y-a+5=0 \end{cases}\) Эта система должна иметь два различных решения: \(\begin{cases} 1=9-x^{2} -y^{2}\\ y=x+a-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} +y^{2} =8-это~ окружность~ с~центром~ ( 0;0)~ и~ радиусом~ \sqrt{8}\\ y=-x+a-5-это~ задает~ множество~ прямых~ с~ тангенсом~ угла~ наклона~ -1 \end{cases}\) Изобразим эту окружность (на рисунке выделена желтым). Решение будет между двумя касательными к этой окружности. Проведем радиус к касательной и опустим из этой точки перпендикуляр на ось \(x\). Мы знаем, что радиус равен \(\sqrt{8}\), значит мы можем найти точки касания: \(x^{2} +x^{2} =8\\ 2x^{2} =8\\ x^{2} =4\\ x=2\) Значит, координаты этой точки \((2;2)\), координаты второй точки касания \((-2;-2)\). Выразим из уравнения \(a\). Для этого подставим полученные значения в уравнение: \(a=x+y+5\Rightarrow a=2+2+5\Rightarrow a=9\\ a=-2-2+5\Rightarrow a=1\) Два решения - это два пересечения прямой окружности, которые будут получаться при \(a\in ( 1;9)\). Значит, \(a\in ( 1;9)\), но нужно учитывать полученные ранее ограничения. Получается, \(a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)\). Ответ: \(a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)\).

На доске написано трёхзначное число \(A\). Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число \(B\), затем Коля записывает число \(A\) и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число \(C\). а) Может ли быть верным уравнение \(A=B\cdot C\) если \(A>140\). б) Может ли быть верным уравнение \(A=B\cdot C\) если \(440\leq A< 500\). в) Найдите наибольшее число \(A\) до \(900\) для которого выполняется \(A=B\cdot C\).

а) Да, пусть на доске было записано число \(210\). Тогда при \(C = 21\), а \(B=10\) равенство будет выполняться б) Нет. Рассмотрим минимальное возможное значение \(A=440\), тогда минимальные значения \(B\) и \(C\), которые могут получить Коля и Серёжа \(40\). В таком случае \(B\cdot C\geq 1600\). Рассмотрим \(A\) большее \(440\), тогда очевидно, что минимальные \(B\) и \(C\) остаются \(40\), значит, оценка верна для всех \(A\) удовлетворяющих условию задачи, следовательно, уравнение неверное. в) Рассмотрим число \(810\), если \(B=81\), \(C=10\), то условие выполняется. Оценим есть ли значения \(B\) и \(C\) при которых \(A\) получается больше. Зафиксируем число: \(\overline{8bc}\) Так как мы хотим получить число большее \(810\), то \(b\leq 1\). Если Коля или Серёжа вычёркивают \(b\), то на доске остаётся число \(\leq 80\), если вычёркивают \(c\), то остаётся число \(\leq 81\). Тогда произведение \(B\) и \(C\leq 6480\), не удовлетворяет условию. Если каждый из мальчиков вычёркивает \(8\)-ку, то на доске остаётся: \(10<\overline{bc}\leq 99\). Для того чтобы число \(A\) было максимальным \(b\) - должно быть максимальным, оценим: \(b=9, B\cdot C\geq 90\cdot 90=8100\\ b=8, B\cdot C\geq 80\cdot 80=6400\\ b=7, B\cdot C\geq 70\cdot 70=4900\\ b=6, B\cdot C\geq 60\cdot 60=3600\\ b=5, B\cdot C\geq 50\cdot 50=2500\\ b=4, B\cdot C\geq 40\cdot 40=1600\\ b=3, B\cdot C\geq 30\cdot 30=900\) Значит максимальное значение \(b=2\), оценим равенство относительно с \(c=9, B\cdot C\geq 29\cdot 29=841\\ c=8, B\cdot C\geq 28\cdot 28=784,\) заметим, что число уже меньше примера в начале пункта, значит, рассматривать \(c<8\) не имеет смысла, так как квадраты чисел будут уменьшаться, значит, и рассматривать \(b=1\) не имеет смысла. С помощью оценки получили, что \(A=810\) - наибольшее возможное. Ответ: а) да, б) нет, в) 810