Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $126$. Точка $E$ - серединs стороны $AB$.  Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $61^\circ$, угол $CAD$ равен $37^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $3\sqrt{2}$, угол $C$ равен $135^{\circ }$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен $1$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10$, $CD=17$. Найдите периметр четырехугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Две стороны треугольника равны $15$ и $18$. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна $10$. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $21^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол на $32^\circ$ больше острого угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Радиус окружности равен $1$. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $\sqrt{3}$. Ответ дайте в градусах.

Конус вписан в шар так, что высота конуса равна радиусу шара. Радиус шара равен $26\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен $18$.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $D, A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, E_{1}, F_{1}$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$, площадь основания которой равна $12$, а боковое ребро равно $2$.

Найдите значение выражения $3\cos2\alpha$, если $\sin\alpha = 0, \! 2$.

Водолазный колокол, содержащий $\nu =2$ моля воздуха при давлении $p_{1} =1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=a\nu T\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha =13,3\frac{Дж}{моль\cdot К}$ - постоянная, $T=300$ К $-$ температура воздуха. Найдите какое давление $p_{2}$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15960$ Дж.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины ребер: $AB=21, AD=20, AA_{1} =23$. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины $A, A_{1}$ и $C.$

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $2$. Найдите объем параллелепипеда.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,A_{1} ,B_{1} ,𝐶_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $9$.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $10$ и $9$. Боковые ребра призмы $\dfrac 2 \pi$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

В правильной четырехугольной призме $𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1} 𝐷_{1}$ известно, что $𝐵𝐷_{1} =2𝐴𝐷$. Найдите угол между диагоналями $𝐷𝐵_{1}$ и $𝐶𝐴_{1}$. Ответ дайте в градусах.

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно $7{,}5$, а сторона основания равна $10$. Найдите высоту пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝐷=26,$ $𝐴𝐶=20$. Найдите длину отрезка $𝑆𝑂$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝐵=29,$ $𝐴𝐶=40$. Найдите длину отрезка $𝑆𝑂$.

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ с вершиной $𝑆$, точка $𝑂 −$ центр основания, $𝑆𝑂=18$, $𝑆𝐷=82$. Найдите длину отрезка $𝐴𝐶$.