Решите неравенство: \(\log_4(6-6x)<\log_4(x^2-5x+4)+\log_4(x+3)\).

\(\log_4(6-6x) 0\\ x+3 > 0 \end{array} \right.\), то \(x^2-5x+4>0\) \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 6( 1-x) > 0\\ x+3 > 0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x -3 \end{array} \right. \end{array}\) Получаем \(x\in (-3;1)\) Возвращаемся к неравенству: \(\displaystyle \begin{array}{l} 6-6x 0 \\ (x-1)(x+2)(x-3)>0 \end{array}\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x >-2\\ x 3 \end{array} \right.\) Учитывая ограничения, получаем ответ. Ответ: \(x\in (-2;1)\)

В августе со 2 по 15-е число 2026 года планируется взять кредит на \(1200\) тысяч рублей. Условия его возврата таковы: — первого числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\); — со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих десяти месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем; — на одиннадцатый месяц перед начислением процентов долг будет составлять \(400\) тыс. руб., после чего он погашается одним платежом. Чему равна общая сумма выплат?

\(S\) - кредит Долг за 11 месяцев уменьшился на: \(1200-400=800~тысяч~рублей\) Так как долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц, то найдем насколько: \(\frac{800}{10}=80~тысяч~рублей\) Долг каждый месяц: 1 месяц | \(S\) 2 месяц | \(S-80\) 3 месяц | \(S-2\cdot 80\) 4 месяц | \(S-3\cdot 80\) 5 месяц | \(S-4\cdot 80\) 6 месяц | \(S-5\cdot 80\) 7 месяц | \(S-6\cdot 80\) 8 месяц | \(S-7\cdot 80\) 9 месяц | \(S-8\cdot 80\) 10 месяц | \(S-9\cdot 80\) 11 месяц | \(S-10\cdot 80\) \(S+S\cdot 0,01+(S-80)\cdot 0,01+(S-2\cdot 80)\cdot 0,01+…+(S-10\cdot 80)\cdot 0,01=\\ =S+0,01(S+(S-80)+(S-2\cdot 80)+…+(S-10\cdot 80))\) Заметим, что в скобках заключена арифметическая прогрессия, где \(a_{1} = S, a_{n} = S - 10 \cdot 80, n = 11 \Rightarrow\) \(S+0,01\left(\frac{S+S-10\cdot 80}{2}\cdot 11\right)=\\ =S+0,01(S-400)\cdot 11=S+0,11S-44=1,11S-44\\ 1,11\cdot 1200-44=1288~тыс.рублей\) Ответ: \(1288\)

К окружности с диаметром \(AB=10\) проведена касательная \(BC\) так, что \(BC=5\). Прямая \(AC\) вторично пересекает окружность в точке \(D\). Точка \(E\) диаметрально противоположна точке \(D\). Прямые \(E\) и \(BC\) пересекаются в точке \(F\). а) Докажите, что \(BD^{2} =CD\cdot BE\). б) Найдите площадь треугольника \(FBE\).

а) Заметим, что \(\angle BDA=90^{\circ }\), поскольку этот угол опирается на диаметр \(AB\). Тогда \(BD\) - высота прямоугольного треугольника \(ABC\). По свойству высоты получаем, что \(BD=\sqrt{CD\cdot AD}\), тогда: \(BD^{2} =CD\cdot AD\) Треугольники \(EOB\) и \(DOA\) равны по двум сторонам и углу между ними \((EO = AD\) и \(AO = OB\) как радиусы, \(\angle{EOB} = \angle{AOD}\) как вертикальные\()\), значит, \(EB=AD\), откуда: \(BD^{2} =CD\cdot AD=CD\cdot BE\) б) Выразим площадь треугольника \(FBE\): \(S_{FBE} =S_{OBF} +S_{OBE} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+S_{AOD} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{2} S_{ABD} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{4} AD\cdot BD\) Вычислим длины отрезков: \(BD=\frac{2S_{ABC}}{AC} =\frac{10\cdot 5}{\sqrt{100+25}} =2\sqrt{5}\\ AD=\sqrt{AB^{2} -BD^{2}} =\sqrt{100-20} =4\sqrt{5}\\ CD=AC-AD=\sqrt{AB^{2} +BC^{2}} -4\sqrt{5} =\sqrt{125} -4\sqrt{5} =\sqrt{5}\) Применим теорему Менелая для треугольника \(ABC\) и прямой \(ODF\): \(\frac{BO}{OA} \cdot \frac{AD}{DC} \cdot \frac{CF}{FB} =1\) откуда \(BF=4CF\). Таким образом, \(BC=\frac{3}{4} BF=5\), \(BF=\frac{20}{3}\). Следовательно: \(\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{4} AD\cdot BD=\frac{1}{2} \cdot 5\cdot \frac{20}{3} +\frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} =\frac{80}{3}\) Ответ: \(\frac{80}{3}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{7x-4}\cdot \ln \left(x^2-8x+17-a^2\right)=0\) имеет на отрезке \(\left[0;4\right]\) ровно один корень.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{7x-4} =0\\ x^{2} -8x+17-a^{2} > 0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ x^{2} -8x+17-a^{2} > 0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ \frac{625}{49} > a^{2} \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ -\frac{25}{7} < a < \frac{25}{7} \end{array} \right. \end{array}\) Когда равен нулю второй множитель: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ \ln\left( x^{2} -8x+17-a^{2}\right) =0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ x^{2} -8x+17-a^{2} =1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ ( x-4)^{2} -a^{2} =0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ ( x-4-a)( x-4+a) =0 \end{array} \right. \end{array}\) Получаем корни \(x=4-a\) или \(x=4+a\). Первый существует при \(4-a\geq \frac{4}{7}\Leftrightarrow a\leq \frac{24}{7}\) и принадлежит отрезку \([0; 4]\) при \(0\leq 4-a\leq 4\Leftrightarrow 0\leq a\leq 4\), а второй при \(4+a\geq \frac{4}{7}\Leftrightarrow a\geq -\frac{24}{7}\) и лежит на нужном интервале при \(0\leq 4+a\leq 4\Leftrightarrow -4\leq a\leq 0\). То есть первый корень подходит нам при \(0\leq a\leq \frac{24}{7}\), а второй -- при \(-\frac{24}{7}\leq a\leq 0\). Проверим совпадение корней: \(\displaystyle \begin{array}{l} 4-a=4+a\Leftrightarrow a=0 \\ 4-a=\frac{4}{7}\Leftrightarrow a=\frac{24}{7} \\ 4+a=\frac{4}{7}\Leftrightarrow a=-\frac{24}{7} \end{array}\) Итого нам подходят промежутки \(\left(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}\right]\) и \(\left[\frac{24}{7};\frac{25}{7}\right)\). Ответ: \(\left(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}\right]\cup \left[\frac{24}{7};\frac{25}{7}\right)\).

В наборе 100 гирек весом 1, 2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм. а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г? б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов? в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

а) Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна \(4\cdot 6-3\cdot 5=9\) граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке. б) Пусть в первой куче было \(n\) гирек, а их средняя масса равнялась \(a\) г. Тогда сумма масс всех гирей в ней равнялась \(na\) г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой \(k\) г, в первой куче стало \(n+1\) гирек, их средняя масса стала равна \(a+1\) г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна \(na+k\) г. Таким образом, \(( n+1)( a+1) =na+k\leftrightarrow na+n+a+1=na+k\leftrightarrow a=k-n-1\) Следовательно, число \(a\) целое и не может равняться 7,5. в) Сумма масс \(n\) гирек не меньше \(1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\) следовательно, \(a \geqslant \frac{n+1}{2}\) В первую кучу переложили гирьку массой \(k=a+n+1\) (г). Масса этой гирьки не превосходит 100 г, откуда получаем: \(100\geqslant k=a+n+1\geqslant \frac{n+1}{2} +n+1\) поэтому \(\frac{3}{2}(n+1) \leqslant 100\) откуда \(n\leqslant 65\frac{2}{3}\) Следовательно, наибольшее значение \(n\) не превосходит 65. Покажем, что могло быть \(65\) гирек. Если в первой куче лежало 65 гирек массой \(1~г, 2~г, \dotsc , 65~г\), и к ним добавили гирьку массой \(\frac{3}{2}(65+1) =99\) г, то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65. Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 65.