а) Решите уравнение: $4\sin^{2}(\frac{\pi }{2} -x) =\ctg x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -5\pi ;-4\pi ]$.

а) Применим формулу приведения: $4\cos^2x=ctgx\\ 4\cos^2x=\frac{\cos x}{\sin x}\\ x\neq \pi n,n\in Z$ Домножим обе части на $\sin x$: $4\cos^2x\cdot \sin x=\cos x\\ 4\cos^2x\cdot \sin x - \cos x=0\\ \cos x(4\cos x\cdot \sin x-1)=0\\ \cos x=0~или~4\cos x\cdot \sin x-1=0\\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in~Z\\ 4\cos x\cdot \sin x=1\\ 2\sin 2x=1\\ \sin 2x=\frac{1}{2}$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2x=\frac{\pi }{6} +2\pi l,l\in Z\\ 2x=\frac{5\pi }{6} +2\pi m,m\in Z \end{array} \right.$ $x=\frac{\pi}{12}+\pi l,l\in Z\\ x=\frac{5\pi}{12}+\pi m, m\in Z$ б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi;-4\pi]$. Корни, которые принадлежат промежутку: $-5\pi + \frac{\pi}{12} = -\frac{59\pi}{12} \\ -5\pi + \frac{5\pi}{12} = -\frac{55\pi}{12} \\ -5\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{9\pi}{2}$ Ответ: а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z, x=\frac{\pi}{12}+\pi l,l\in Z, x=\frac{5\pi}{12}+\pi m, m\in Z$; б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$.

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой ребра $AB$. а) Докажите, что $SA=SC$. б) Найдите угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$, если $AC=16,AB=20,SA=26$.

а) $CO$ - медиана, проведенная из прямого угла $\Rightarrow CO=\dfrac{1}{2}AB = AO = OB$. 1) $AO$ - проекция $AS$ на $(ABC)$ 2) $CO$ - проекция $CS$ на $(ABC)$ 3) $AO=CO\Rightarrow \ SA=SC \Rightarrow$ Ч.Т.Д. б) В $\triangle{ABC}$ по т. Пифагора: $BC = \sqrt{{AB}^{2}-{AC}^{2}} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144} = 12$ Мы знаем, что $S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos{\alpha},$ где $\alpha$ - угол между фигурой и проекцией. $\Rightarrow \cos \alpha =\frac{S_{AOC}}{S_{ASC}} =\frac{0,5S_{ABC}}{S_{ASC}} =\frac{0,5\cdot 0,5\cdot 16\cdot 12}{\sqrt{34\cdot 8\cdot 8\cdot 18}} =\frac{1}{\sqrt{17}}$ Площадь треугольника $ASC$ была найдена по формуле Герона. Ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt{17}}$.

Решите неравенство: $\log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq 2$.

Ограничения: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{2} >0\\ \frac{x}{2} \neq 1\\ x^{2} -2x+1 >0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x >0\\ x\neq 2\\ x\neq 1 \end{array} \right. \end{array}$ Получается $x\in (0;1)~\cup ~(1;2)~\cup ~(2;+\infty)$ Переходим к неравенству: $\displaystyle \begin{array}{l} \log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq 2 \\ \log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq \log_{\frac{x}{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^2 \\ \log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq \log_{\frac{x}{2}}\frac{x^2}{4} \\ \left(\frac{x}{2}-1\right)\left(x^2-2x+1-\frac{x^2}{4}\right)\geq 0 \\ (x-2)(4x^2-8x+4-x^2)\geq 0 \\ (x-2)(3x^2-8x+4)\geq 0 \\ (x-2)(3x-2)(x-2)\geq 0 \\ (x-2)^2(3x-2)\geq 0 \end{array}$ Учитывая ограничения, получаем ответ Ответ: $x\in [\frac{2}{3};1)~\cup ~(1;2)~\cup ~(2;+\infty)$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 29 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 491 балл
Прямая (линейная функция)
На рисунке изображен график функции вида $f(x)=kx+b$ . Найдите значение $f(3)$ .
id 97822 балла
Дробно-рациональные функции
Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2+256}$ .
id 30192 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $4\sin^{2}(\frac{\pi }{2} -x) =\ctg x$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -5\pi ;-4\pi ]$ .
id 29083 балла
Пирамида (2 часть)
В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой ребра $AB$ .
а) Докажите, что $SA=SC$ .
б) Найдите угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$ , если $AC=16,AB=20,SA=26$ .
id 30272 балла
Логарифмические неравенства
Решите неравенство: $\log_{\frac{x}{2}}(x^2-2x+1)\geq 2$ .