В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на \(800\) тыс. руб. на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого из годов \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — в июле каждого из годов \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — к июлю \(2035\) года кредит должен быть выплачен. Известно, что сумма выплат по кредиту составит \(1970\) тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле \(2030\) года.

Обозначим сумму долга за \(S\), пусть в первые \(5\) лет сумма долга равномерно уменьшалась на \(A\), оставшиеся \(5\) лет на \(B\), рассмотрим, как будет выглядеть долг: \(2025\) | \(2026\) | \(2027\) | \(2028\) | \(2029\) | \(2030\) \(S\) | \(S - A\) | \(S - 2A\) | \(S - 3A\) | \(S - 4A\) | \(S - 5A\) \(2031\) | \(2032\) | \(2033\) | \(2034\) | \(2035\) \(S - 5A - B\) | \(S - 5A -2B\) | \(S - 5A - 3B\) | \(S - 5A - 4B\) | \(S - 5A - 5B = 0\) Мы вводили \(A\) и \(B\), как выплаты на основную часть долга, то есть \(5A+5B=S\) (так же это заметно в \(2035\) году) Нам известно, что сумма выплат по кредиту составила \(1970\) тысяч рублей, из них \(1970-800=1170\) тысяч рублей это выплата процентов, найдем сумму процентов: \(0,3S + 0,3(S - A) + 0,3(S - 2A) + 0,3(S - 3A) + 0,3(S - 4A) + 0,3(S - 5A) + 0,3(S - 5A - B)+\\ +0,3(S - 5A - 2B)+0,3(S - 5A - 3B) + 0,3(S - 5A- 4B) = 0,3 ( 10S - 35A - 10B ) = 1170,\) упростим: \(10S - 35A- 10B = 3900\Rightarrow 4100 = 35A+ 10B,\) составим систему: \(\displaystyle \begin{cases} 5A+5B=800\\ 35A+10B=4100 \end{cases} \Rightarrow 25A+2\cdot 800=4100\Rightarrow 25A=2500\Rightarrow A=100,\) тогда \(B=60\). По таблице видно, что долг июля \(2023\) года равен: \(S - 5A= 800 - 500 = 300~тысяч~рублей\) Ответ необходимо дать в рублях: \(300000\). Ответ: \(300000\)

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Точки \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Окружность, проходящая через точки \(B\) и \(С\), пересекает отрезки \(BM\) и \(CN\) в точках \(P\) и \(Q\) (отличных от концов отрезков). а) Докажите, что точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) лежат на одной окружности. б) Найдите \(QN\), если отрезки \(DP\) и \(PC\) перпендикулярны, \(AB = 21\), \(BC = 4\), \(CD = 20\), \(AD = 17\).

а) \(\angle BAD = \alpha\) \(\angle ABC = 180 – \alpha\) \(\angle CQP = \alpha\) (\(BPCQ\) вписанный, сумма противоположных углов = 180) \(\angle PQN = 180 – \alpha\) (как смежный) Отсюда следует, что точки \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) – лежат на одной окружности (четырехугольник вписанный) Ч. т. д. б) Проведем \(CL || AB; ABCL\) – параллелограмм, \(AB = CL\). В \(\Delta LCD\): \(LD = 17 – AL = 17–4 = 13\\ ∠LCD = \alpha\\ ∠CDL = \beta\) По теореме косинусов \(\cos\beta =\frac{16}{65}; \cos\alpha =\frac{5}{13}\) \(\sin\alpha =\frac{12}{13}\) (по Пифагоровой тройке) Проведем \(PN\) – медиана (\(MN\) – середина гипотенузы) \(PN=10\\ R=\frac{PN}{2\sin\alpha}=\frac{10}{2\cdot 12}\cdot 13=\frac{65}{12}\\ \frac{MQ}{2\sin\beta}=\frac{65}{12}\\ \frac{\sin\beta =63}{65}\\ MQ=\frac{65\cdot\sin\beta}{6}=\frac{65\cdot\frac{63}{65}}{6}=\frac{21}{2}\\ MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{21}{2}\\ \angle MNQ=MQN=\beta\Rightarrow\angle QMN=180-2\beta\\ \frac{QN}{\sin (180-2\beta)}=2R=\frac{65}{6}\\ \frac{QN}{\sin 2\beta}=\frac{65}{6}\Rightarrow QN=\frac{65}{6}\cdot\sin 2\beta=\frac{65}{6}\cdot 2\cdot\frac{63}{65}\cdot\frac{16}{65}=\frac{336}{65}\) Ответ: \(\frac{336}{65}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\displaystyle \begin{cases} |x^2-1|-2x-x^2=|y^2-1|-2y-y^2,\\ x+y=a \end{cases}\) имеет больше двух решений.

Раскроем модули: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} -1\geq 0\\ y^{2} -1\geq 0\\ x^{2} -1-2x-x^{2} =y^{2} -1-2y-y^{2} \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} -1\geq 0\\ y^{2} -1< 0\\ x^{2} -1-2x-x^{2} =-y^{2} +1-2y-y^{2} \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} -1< 0\\ y^{2} -1\geq 0\\ -x^{2} +1-2x-x^{2} =y^{2} -1-2y-y^{2} \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} -1< 0\\ y^{2} -1< 0\\ -x^{2} +1-2x-x^{2} =-y^{2} +1-2y-y^{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x\geq 1\\ x\leq -1 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} y\geq 1\\ y\leq -1 \end{array} \right. \\ y=x\ ( 1) \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x\geq 1\\ x\leq -1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} y > -1\\ y -1\\ x -1\\ x -1\\ y< 1 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} y=-x-1\ ( 4)\\ y=x \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}\) \((1)\) -- прямая, проходящая через начало координат с тангенсом угла наклона \(1\) \((2)\) -- наклоненная парабола с вершиной в точке \((-1,25; -0,5)\) \((3)\) -- парабола с вершиной \((-0,5;-1,25)\) \((4)\) -- прямая, проходящая через точку \((0;-1)\) с тангенсом угла наклона \(-1\) \(y= -x + a\) -- множество прямых параллельных прямой \(y = -x\) Построим графики в координатах \(xOy\): Найдем точку касания параметрической прямой и параболы \(y=x^2+x-1\) \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} -1=2x+1\\ -x+a=x^{2} +x-1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ 1+a=1-1-1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ a=-2 \end{array} \right. \\ y_{кас}=-1 \end{array}\) Найдем точку касания параметрической прямой и параболы \(x=y^2+y-1\) \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} -1=2y+1\\ -x+a=y^{2} +y-1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ 1+a=1-1-1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ a=-2 \end{array} \right. \\ x_{кас}=-1 \end{array}\) И учтём, что при \(a = -1\) прямые \(y = -x + a\) и \(y = -x - 1\) совпадают, \(\Rightarrow\) там \(\infty\) решений. Ответ: \((-2;-1]\)

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу. а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней? б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней? в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Пусть Вася в 1-ый день решил \(x\) задач, а Петя \(y\) задач. Тогда в \(n\)-ый день Вася решит \(x+n-1\) задачу. Всего Вася решит \((\frac{2x+n-1}{2}) \cdot n\) задач. Петя в \(m\)-ый день решит \(y+2(n-1)\) задач. Всего Петя решит \(\frac{y+2( m-1) +y}{2} \cdot m\). \(n=m=5\), количество решенных задач одинаково. \(\frac{2x+4}{2} \cdot 5=\frac{2y+2\cdot 4}{2} \cdot 5\\ x=y+2\) Да, возможно, если Вася в первый день решит на 2 задачи больше, чем Петя. б) \(n=m=10\\ \frac{2x+9}{2} \cdot 10=\frac{2y+18}{2} \cdot 10\\ x=y+4, \! 5\) \(\Rightarrow\) Вася должен решить в первый день на \(4, \! 5\) задачи больше, чем Петя. Но, так как каждый решает натуральное число задач, получается противоречие. Такое не могло получиться. в) Если \(n=m=7\), то Петя решил задач > чем Вася \(\frac{2y+12}{2} \cdot 7 >\frac{2x+6}{2} \cdot 7\\ 2y+12 >2x+6\\ x y\), значит \(x=y+1\) или \(x=y+2\). \(\frac{2x+a-1}{2} \cdot n=\frac{2y+2( m-1)}{2} \cdot m\), т.к. оба решили сборник целиком. Для того, чтобы количество задач было наименьшим, \(y\) и \(m\) должно быть наименьшим. \(m\) наименьшее 7, нужно получить целое \(n\) \(m=7, y=1, x=2,\frac{3+n}{2} \cdot n=49,D=401~-~иррационально\\ m=7, y=1, x=3,\frac{5+n}{2} \cdot n=49,D=417~-~иррационально\\ m=7, y=2, x=3,\frac{5+n}{2} \cdot n=56,D=473~-~иррационально\\ m=7, y=2, x=4,\frac{7+n}{2} \cdot n=56,D=497~-~иррационально\\ m=7, y=3, x=4, иррационально\\ m=7, y=3, x=5, иррационально\\ m=8, y=1, x=2, иррационально\\ m=8,y=1, x=3,\ иррационально\\ m=8, y=2, x=3, иррационально\\ m=8, y=2, x=4, \frac{7+n}{2} \cdot n=72,( 7+n) n=72\cdot 2\\ n=9\) \(m=8, y=3, x=4\) и так далее, правая часть уравнения увеличивается, что не удовлетворяет условию \(m=9, y=1, x=2\) и так далее, дадут целые числа, которые больше 72, что нам не подходит Ответ: а) могло, б) не могло, в) 72.