Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение: $2\sin^2x+3\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+2=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна $8$, а боковое ребро $AA1$ равно $7$. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$, причем $CM=1$.

а) Точки $O$ и $O_1$ - центры окружностей, описанных около треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

Решите неравенство: $7^{\ln (x^2-2x)}\leq (2-x)^{\ln 7}$.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $11$ месяцев. Условия возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $10$-й долг должен быть на $80$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
— к $15$-му числу $11$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет $15$-го числа $10$-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1198$ тысяч рублей?

В остроугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=60^{\circ }$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около $\angle ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника ${AHO}$ если $BC=6\sqrt{3}$, $\angle ABC=45^{\circ }$.