Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $558~МГц$. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v=c\cdot\dfrac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500~м/с$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12~м/с$. Ответ выразите в МГц.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0$, где $H_0 = 6,25~м$ - начальный уровень воды, $a =\dfrac{1}{81}~м/мин^2$, и $b =-\dfrac{5}{9}~м/мин$ - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения $P$ (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: $P=\sigma ST^4$, где $\sigma = 5,7\cdot 10^{-8}$ постоянная, площадь поверхности $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$ - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $S=\dfrac{1}{25}\cdot 10^{20}~м^2$, a излучаемая ею мощность $P$ равна $1,425\cdot 10^{26}$ Вт. Определите температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 2 + 12t-5t^2$, где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?

Водолазный колокол, содержащий $\nu= 6$ молей воздуха при давлении $p_1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$(в атмосферах).  Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =5,75$   — постоянная, $T = 300$ K  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10 350$ Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1,6+13t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh}$, где $R=6400$ км - радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $64$ километра? Ответ дайте в метрах.

Водолазный колокол, содержащий $\nu=5$ моль воздуха при давлении $p_1=2,3$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=a\nu\ T\log_2\frac{p_1}{p_2}$, где $a=15,6\frac{Дж}{моль\cdot К}$ – постоянная, $T=300$ – температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $23 400$ Дж.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: $T=T_0+bt+at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0=1600$ К, $a=-5$ К/мин$^2$, $b=105$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1870$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения $P$ (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: $P=\sigma ST^4$, где $\sigma=5,7\cdot 10^{-8}$ - постоянная, площадь поверхности $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$ - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $S=\dfrac{1}{256}\cdot 10^{21}$ м$^2$, а излучаемая ею мощность $P$ равна $5,7\cdot 10^{25}$ Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$, где $H$ — высота столба воды в метрах, $H_0=3$ м — начальный уровень воды, $a=\dfrac{1}{768}$ — м/мин$^2$ и $b=-\dfrac{1}{8}$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от $1$ до $6$. Аналитик, составляющий рейтинг считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула имеет вид: $R=\dfrac{4In+Op+2Tr}{A}$ . Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг $1$.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой $749$ МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
$\nu = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0}$, где $c = 1500$ м/с – скорость звука в воде, $f_0 = 749$ МГц – частота испускаемого сигнала, $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью $\nu = 2$ м/с.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 4$ моль воздуха объёмом $V_1 = 14$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{V_1}{V_2}$ (Дж), где $\alpha = 11{,}6$, а $T = 300$ К – температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $27840$ Дж.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}$, где $p_1$ и $p_2$ – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$ – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен $256$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $128$ атмосфер? Ответ дайте в литрах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=72$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление $R_{общ}=\dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $18$ Ом. Ответ выразите в Ом.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1 = 96$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление задается формулой $R_{общ} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $16$ Ом. Ответ выразите в омах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  $R_1=84$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $14$ Ом. Ответ выразите в омах.

Автомобиль, движущийся со скоросью $v_0=24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью $v_0=60$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=18$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}$, где $t$ - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $21$ км. Ответ дайте в минутах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние длины $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана – в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^2}{2}$, где $t$ – время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega =50$ град./мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =4$ град./мин$^2$ – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2500^\circ$. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ – время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ – период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа $156$ мг. Период его полураспада составляет $8$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $39$ мг.

Расстояние между пристанями А и В равно 192 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.