Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Два велосипедиста одновременно отправились в $160$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $6$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $6$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Смешав $43$-процентный и $89$-процентный растворы кислоты и добавив $10$ кг чистой воды, получили $69$-процентный раствор кислоты. Если бы вместо $10$ кг воды добавили $10$ кг $50$-процентного раствора той же кислоты, то получили бы $73$-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов $43$-процентного раствора использовали для получения смеси?

Найдите значение выражения $(\sqrt{12}-\sqrt{75})\cdot \sqrt{12}$.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $255$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $1$ км/ч, стоянка длится $2$ часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через $34$ часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

На изготовление $540$ деталей первый рабочий затрачивает на $12$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $600$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $10$ деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $20\pi$, а высота равна $4$. Найдите диаметр основания.

На рисунке изображен график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определенной на интервале $\left(-19;2\right)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $\left[-14;0\right]$.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=ax^2+bx+c$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа, $t$ – время, прошедшее от начального моменты, $T$ – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $176$ мг. Период его полураспада составляет $3$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равно $11$ мг.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a,b$ и $c$ - целые. Найдите значение $f(-12)$.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала. регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=170$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=11$ м/с и $v=13$ м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180$ Гц?

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = ax^2+bx+c$. Найдите $f (-3)$.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = kx+b$. Найдите  $f(7)$.

Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x-3}=4$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Найдите корень уравнения $\lg(x+11)=1$.

Окружность вписана в четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $BC=10$, а периметр четырёхугольника равен $24$. Найдите сторону $AD$.

Стороны параллелограмма равны $22$ и $44$. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна $33$. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $𝐴,B,C,𝐶_{1}$ правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $23$ пассажиров, равна $0,87.$Вероятность того, что окажется меньше $14$ пассажиров, равна $0,61.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $14$ до $22$ включительно.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением: $T=T_0+bt+at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0=1450~K$, $a=-30~K/мин^2$, $b=180~K/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1600~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=kx+b$. Найдите значение $f(-3)$.

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $120$ км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот прошел $24$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $2$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Лодка в $8:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $30$ км от А. Пробыв в пункте В $1$ час $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $22:00$ того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что скорость лодки $5$ км/ч.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=\log_ax$. Найдите значение $f(8)$.