Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение: $\cos 2x+\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi }{2} -x\right) -1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi }{2} ;4\pi \right]$.

а) Решите уравнение: $9^{x-\frac{1}{2}}-8\cdot 3^{x-1}+5=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $(1;\frac{7}{3})$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$, $AD=4$, $AA_1 =6$. Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Дана четырехугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что$SA=SC=10\sqrt{2}$, $SB=20$ и$AC=10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на ребрах $AC$, $AD$, $DB$ и $BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$  — квадрат, и $AK:KC=3:7$.

а) Докажите, что$AB:CD=3:7$.

б) Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.

а) Решите уравнение: $2x\cos x-8\cos x-x+4=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$.

Решите неравенство:$\log_7(2+\frac{2}{x})-\log_7(x+3)\leq\log_7\frac{6+x}{x^2}$.

Решите неравенство: $45^x\cdot 27-27^{x+1}-12\cdot 15^x+12\cdot 9^x+5^x-3^x\leq 0$.

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).

а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.<br>Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на $3$ и оканчиваются на $4$.

а)  Может ли сумма составлять $282$?

б)  Может ли их сумма составлять $390$?

в)  Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна $2226$?

Решите неравенство: $\dfrac{4^x+7\cdot 2^x-48}{2^x-32}\leq 1$.

Решите неравенство: $\dfrac{2^{x+1}-17\cdot 2^{2-x}}{2^x-2^{6-x}}\geq 1$.

Решите неравенство: $2^x-\dfrac{240}{2^x-1}\geq 0$.

а) Решите уравнение: $\sin x+2\sin\left( 2x+\dfrac{\pi }{6}\right) =\sqrt{3}\sin 2x+1$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi }{2} ;-2\pi \right]$.

а) Решите уравнение: $8\sin^{2} x-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi }{2} -x\right) -9=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{5\pi }{2} ;-\pi \right]$.

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на сумму $147 000$ рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

а) Решите уравнение: $4^x-2^{x+3}+15=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;\sqrt{10}]$.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых система

$\displaystyle \begin{cases}\sqrt{2x-x^{2}} =\sqrt{2ay-a^{2} y^{2}}\\\ y=x^{2}\end{cases}$

имеет ровно три решения.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=2:3$, а радиус малой окружности равен $\sqrt{23}$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$. Прямая $BE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$, при этом $BE\perp AC$. Известно, что $AB:BC=\sqrt7:4$.
а) Докажите, что $BP=AE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $6\sqrt3$.

Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$.
а) Докажите, что отличная от $A_1$ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$ и $A_1BC_1$, лежит на окружности, описанной около треугольника $B_1AC_1$.
б) Известно, что $AB=AC=10$ и $BC=12$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$, $A_1BC_1$ и $B_1AC_1$.

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=3$, $AD=4$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ — высота.
а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=12$ и $BH=3$.