Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на \(5\) больше, чем треть суммы других чисел. Например, \(40, 45, 50\) - удачная тройка. а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа \(50,60\) и ещё одно число, большее \(60\)? б) Найдется ли удачная тройка, одно из чисел которой равно \(15\)? в) Какое наибольшее количество чисел от \(1\) до \(100\) включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

а) \(15\). Пусть третье число в тройке \(x\). Составим неравенство, опираясь на условие задачи: \(50\geq \frac{x+60}{3}+5\Leftrightarrow 75\geq x\) Заметим, что для существования удачной тройки не обязательно проверять все три неравенства, достаточно лишь того, чтобы меньшее число было больше трети суммы двух оставшихся плюс пять. Потому что, если это условие выполняется, то меняя числа местами, мы будем увеличивать левую и уменьшать правую части, поэтому неравенства так же будут выполняться. Значит нам подходят все иксы от \(61\) до \(75\), а таких \(15\) штук. б) Нет. Пусть это числа \(a\), \(b\geq a+1\), \(c\geq a+2\). Из условия получаем \(a\geq \frac{b+c}{3}+5\geq \frac{a+1+a+2}{3}+5\Leftrightarrow a\geq 18\) То есть наименьшее возможное число в тройке – \(18\). в) \(80\). Посмотрим, какая допустимая разность между числами в тройке. Пусть меньшее из чисел \(a\), большее – \(x\). Среднее число не меньше, чем \(a+1\). Запишем условие удачной тройки: \(a\geq 5+\frac{a+1+x}{3}\Leftrightarrow 2a\geq x+16\Leftrightarrow a-16\geq x-a\) При этом, рядом с каждым числом находятся \(4\) числа, которые могут входить с ним в какую-то тройку, то есть, рядом с каждым числом точно есть число, большее его хотя бы на \(4\). То есть для полученного выше необходимого условия удачной тройки имеем \(a-16\geq 4\Leftrightarrow a\geq 20\). То есть мы не можем брать числа от \(1\) до \(19\), значит, чисел по кругу можно расставить не более \(81\). Если мы выбрали число \(20\), то существует тройка, в которой с числом \(20\) не стоит число \(21\), а стоит хотя бы \(22\). Тогда в этой тройке следующее число не более \(23\), иначе сумма двух других чисел в тройке хотя бы \(46\), а \(\frac{46}{3}+5>20\). То есть существуют три подряд идущие числа \(20\), \(23\), \(22\), не важно, в какой конфигурации. Но где-то находится еще число \(21\), и тогда существует тройка с этим числом, не содержащая чисел \(20\), \(22\) и \(23\). Тогда сумма оставшихся чисел в этой тройке хотя бы \(24+25=49\), но \(\frac{49}{3}+5>21\). Значит, мы не сможем выбрать \(81\) число, так как для этого потребуется взять все числа от \(20\) до \(100\), но взять одновременно \(20\) и \(21\) не получится. Не будем брать число \(20\) и расставим оставшиеся числа следующим образом: \(21\), \(23\), … \(97\), \(99\), \(100\), \(98\), \(96\), \(94\), … \(24\), \(22\) (и круг замыкается). Почти все тройки тут построены по принципу \(x\), \(x+2\), \(x+4\), для которых условие удачной тройки выполняется при \(x\geq \frac{2}{3}x+7\Leftrightarrow x\geq 21\), для замыкания круга выполним проверку – минимальное число в тройках на этой части круга – \(21\). Максимальная сумма оставшихся двух чисел по всем тройкам, куда входит это число – \(23+25=48\). \(\frac{48}{3}+5=21\), значит, условие выполняется и тройки удачные. Получаем пример на \(80\) чисел. Ответ: а) 15. б) Нет. в) 80.

В классе \(16\) учащихся, среди них два друга – Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на \(4\) равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Рассмотрим Вадима. Вместе с ним в группе окажутся ещё \(3\) учащихся из оставшихся \(15\). Вероятность того, что Сергей окажется среди этих \(3\) учащихся, равна отношению числа свободных мест в группе к числу оставшихся учащихся: \(P=\dfrac{3}{15}=0{,}2.\) Ответ: \(0{,}2\).