Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство: $\log_\frac{1}{3}((4-x)(x^2+29))\leq \log_\frac{1}{3}(x^2-10x+24)+\log_\frac{1}{3}(7-x)$.

Решите неравенство: $\dfrac{6^x-4\cdot 3^x}{x\cdot 2^x-5\cdot 2^x-4x+20}\leq \dfrac{1}{x-5}$

Решите неравенство $\dfrac{2\cdot 3^{2x+1}-7\cdot 6^x+2\cdot 4^x}{3\cdot 9^x-3^x\cdot 2^{x+1}}-1\leq 0$.

Решите неравенство:

$(9^x-2\cdot 3^x)^2-62(9^x-2\cdot 3^x)-63\geq 0$.

Решите неравенство: $\dfrac{2\cdot 3^x-10\cdot 3^{2-x}}{3^x-3^{2-x}}\geq 1$.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $800$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- выплаты в $2027$ и $2028$ годах должны быть равны;
- к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платеж в $2029$ году составит $833,8$ тысяч рублей. Сколько рублей составит платеж в $2027$ году?

В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере $630$ тыс. рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным $630$ тыс. руб.;
— суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.
Найдите $r$, если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят $915$ тыс. рублей.

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N \ -$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1, \ KC = 3$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а)  Докажите, что $AH  =  AO$.

б)  Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$  — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$  — высота, $\angle{BAC} ={60}^{\circ}$, $\angle{BCA}={45}^{\circ}$.

а)  Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.

Точка $M$ - середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

а) Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC=\frac{4}{3}$.

На доске написано $n$ единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано $n = 12$ единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

$1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147$.

а) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =60$?

б) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =80$?

в) Чему могло равняться $n$, если полученная сумма чисел равна $150$?

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

a) Могло ли из числа $65$ получиться число $41$?

б) Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $− \ 3$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $4$, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $− \ 8$.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Известно, что около четырехугольника $AMNC$ можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

б) На стороне $AC$ отмечена точка $F$, такая что $\angle AFB=135^{\circ}$. Отрезок $BF$ пересекает отрезок $MN$ в точке $E$. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $AMNC$, если $\angle ABC=120^{\circ}$ и $EF=6\sqrt{2}$.

Дана пирамида $𝑆𝐴𝐵𝐶$, в которой $𝑆𝐶=𝑆𝐵=𝐴𝐵=𝐴𝐶=\sqrt{17}$, $𝑆𝐴=𝐵𝐶=2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро $𝑆𝐴$ перпендикулярно ребру $𝐵𝐶$.

б) Найдите расстояние между ребрами $𝐵𝐶$ и $𝑆𝐴$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\\\begin{cases}\log_3(a-x^2)=\log_3(a-y^2)\\x^2+y^2=4x+6y\\\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.

а) Решите уравнение $(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите,что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$a^2-9x^2+18|x|-9=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$\displaystyle \begin{cases} ( xy-x+7)( y-x+7) =0\\ y=3x+a \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\displaystyle \begin{cases} \log_{7}( 36-y^{2}) =\log_{7}( 36-a^{2} x^{2})\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.

а)  Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б)  Найдите $AD$.