Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями \(AD=5\) и \(BC=4\). Точка \(M\) делит ребро \(A_1D_1\) в отношении \(4:1\), точка \(K\) — середина \(DD_1\). а) Доказать, что плоскость \(MCK\) параллельна стороне \(BD\). б) Найти тангенс угла между плоскостью \(MKC\) и плоскостью основания, если \(\angle BAD=60\), а \(\angle CKM=90\).

а) Так как при пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью прямые, по которым пересекаются плоскости параллельны, следовательно, проведем в плоскости (\(BB_1C_1\)) отрезок \(CL||KM\), причем точка \(L\) лежит на отрезке \(BB_1\). Соединим точки \(M\) и \(L\), получим параллелограмм. По свойству параллелограмма \(MK=CL\). В двух параллельных плоскостях получим равные треугольники \(CBL\) и \(MD_1K\), так как: 1) Углы \(LBC\) и \(KD_1M\) равны \(90^\circ\) 2) \(MD_1=BC=4\) 3) \(MK=CL\) Значит, \(D_1K=LB=KD=LB_1\) (так как точка \(K\) – центр \(DD_1\) по условию) Значит, получаем прямоугольник \(LBDK\), в котором \(LK||BD\). Так как отрезок \(LK\) принадлежит (\(MCK\)), значит \(BD\) будет параллельна всей плоскости (\(MCK\)). б) Заметим, что \(MKCL\) — параллелограмм с прямым углом, следовательно, \(MKCL\) — прямоугольник. Угол между плоскостью \(MCK\) и плоскостью \(ABCD\) будем искать c помощью площади проекции. Проекция прямоугольника \(MKCL\) на плоскость основания это параллелограмм \(BNDC\): \(\cos\alpha=\frac{S_{LMKC}}{S_{BNDC}}=\frac{4\cdot 1\cdot\sin 60^\circ}{MK\cdot KC}\) Пусть \(D_1K=x\), \(KD=x\) По теореме Пифагора: \(MC^2=MN^2+NC^2=4x^2+13\\ MC^2=MK^2+KC^2=16+x^2+x^2+1=17+2x^2\) Приравняем правые части уравнений: \(17+2x^2=4x^2+13\\ x=\sqrt{2}\) По теореме косинусов для треугольника \(NDC\): \(NC^2=ND^2+DC^2-2ND\cdot DC\cdot\cos 60^\circ=16+1-2\cdot 4\cdot 1\cdot 0,5=13\) Если то треугольник \(B_1A_1M\) — равносторонний, \(A_1B_1=C_1D_1=CD=A_1M=1\). Найдем длину \(BD\): По теореме Пифагора: \(MK^2=MD_1^2+D_1K^2;MK^2=16+x^2=18,MK=\sqrt{18}\) Аналогично \(CK=\sqrt{3}\). Тогда: \(\cos\alpha=\frac{4\cdot 1\cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\) Из основного тригонометрического тождества: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{3}\) Тогда: \(tg\alpha=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\) Ответ: \(\frac{\sqrt{14}}{2}\)

Решите неравенство: \(𝑥^{2}\log_{343}( 𝑥−1) \geq \log_{7}( 𝑥^{2} −2𝑥+1)\).

Ограничения: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ {x}^{2} - 2x + 1 > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ (x-1)^{2} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x > 1\) Теперь решим неравенство: \(\frac{x^2}{3}\log_7(x-1)\geq \log_7(x-1)^2\\ \log_7(x-1)^\frac{x^2}{3}\geq \log_7(x-1)^2\\ Так~как~7>1\\ (x-1)^\frac{x^2}{3}\geq (x-1)^2\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x-1 >1\\ \ \frac{x^{2}}{3} \geq 2 \end{cases}\\ \begin{cases} x-1 1\\ x\in (1;2]\cup [\sqrt{6};+\infty)\) Ответ: \(𝑥\in (1;2] \cup [\sqrt{6} ;+\infty )\).

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть по 100 тысяч рублей; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после погашения кредита.

В январе 2027 года сумма долга станет \(\\1,1\cdot 500=550\) тысяч рублей. В июле 2027 года задолженность составит \(\\550-100=450\) тысяч рублей. В январе 2028 года долг будет равен \(1,1\cdot 450=495\) тысяч рублей. В июле 2028 года долг будет \(\\495-100=395\) тысяч рублей. В январе 2029 года задолженность составит \(\\1,1\cdot 395=434,5\) тысяч рублей. Так как после платежа на июль 2029 года сумма долга должна быть выплачена полностью, последний платеж и составит \(\\434,5\) тысяч рублей. Значит, общая сумма платежей равняется \(\\100+100+434,5=634,5\) тысяч рублей. Ответ: \(\\634\,500\) рублей.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) - середины гипотенузы \(AB\) и катета \(BC\) соответственно. Биссектриса угла \(BAC\) пересекает прямую \(MN\) в точке \(L\). а) Докажите, что треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \(\cos\angle BAC=\frac{7}{25}\).

а) Т. к. \(MN\) - средняя линия (по условию), то \(MN||AC\). \(\angle ALN=\angle CAL\) (накрест лежащие) \(\angle CAL=\angle LAM\) (\(AL\) - биссектриса) \(\Delta AML\) - равнобедренный, т. к. углы при основании равны \(\Rightarrow AM=ML\) \(AM=MB\) (\(M\) - середина) \(\Rightarrow MB=AM=ML=\frac{AB}{2}\) \(\Delta ALB\) - прямоугольный, т. к. \(ML\) - медиана, равная половине гипотенузы. \(\angle ACB=\angle ALB={90}^{\circ}\) и опираются на \(AB\Rightarrow ACLB\) - вписанный четырехугольник \(\angle LAB=\angle LCB\) (опираются на \(LB\)) \(\Rightarrow \angle LCB=\angle LAB=\angle LAM\) \(\angle CAL=\angle CBL\) (опираются на \(CB\)) \(\Rightarrow \angle CBL=\angle CAL=\angle LAM\) Значит треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны (по двум углам), ч.т.д. б) Из подобия треугольников \(AML\) и \(BLC\) следует, что \(\frac{LB}{AM}=k\). Разделим уравнение на 2: \(\frac{LB}{2AM}=\frac{k}{2}\\ 2AM=AB\Rightarrow\frac{LB}{AB}=\frac{k}{2}\) Из \(\Delta LAB\): \(\sin LAB=\frac{LB}{AB}\) \(\angle LAB=\alpha\), тогда \(\angle CAB=2\alpha\) \(\cos2\alpha=\frac{7}{25}=1-2\sin^2\alpha\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{9}{25}\Rightarrow\sin\alpha=\frac{3}{5}\\ \frac{k}{2}=\frac{LB}{AB}=\sin\alpha\Rightarrow k=2\sin\alpha=\frac{6}{5}\) Из подобия треугольников \(AML\) и \(BLC\) следует: \(\frac{S_{BLC}}{S_{AML}}=k^2=\frac{36}{25}\) Ответ: \(\frac{36}{25}\).

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(x^{10}+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0\) имеет более трёх различных решений.

Преобразуем исходное уравнение: \(x^{10}+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0\\ x^{10}+x^2=2|x|-a-(a-2|x|)^5\\ x^{10}+x^2=(2|x|-a)^5+(2|x|-a)~(1)\) Пусть \(f(t)=t^5+t\), тогда уравнение (1) можно представить в виде \(f(x^2)=f(2|x|-a)\). Исследуем поведение функции \(f(t)\). Для этого найдём производную: \(f'(t)=5t^4+1\) \(f'(t)>0\) для всех \(t\Rightarrow f(t)\) строго возрастает на всей области существования. Тогда из \(f(x^2)=f(2|x|-a)\Rightarrow x^2=2|x|-a\). Преобразуем полученное уравнение: \(\displaystyle x^{2} =2|x|-a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\\ x^{2} =2x-a \end{cases}\\ \begin{cases} x< 0\\ x^{2} =-2x-a \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\\ a=-x^{2} +2x \end{cases}\\ \begin{cases} x< 0\\ a=-x^{2} -2x \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\ \\ a=-( x-1)^{2} +1 \end{cases} \ ( 1)\\ \begin{cases} x< 0\\ a=-( x+1)^{2} +1 \end{cases} \ ( 2) \end{array} \right.\) Для дальнейшего решения используем графический метод. Будем использовать координатную плоскость, где в качестве оси ординат будет выступать параметрическая ось \(Oa\). Изобразим на этой координатной плоскости решения систем (1) и (2). Решением системы (1) будет часть параболы \(a=-(x-1)^2+1\) с ветвями вниз и вершиной в точке \((1;1)\), расположенная правее оси \(Oa~(x\geq 0)\). Решением системы (2) будет часть параболы \(a=-(x+1)^2+1\) с ветвями вниз и вершиной в точке \((-1;1)\), расположенная левее оси \(Oa~(x< 0)\). В координатах \(XOa\) графическое представление конкретного значения параметра \(a\) будет соответствовать прямой, параллельной оси абсцисс \((a=z,z\in R)\). Чтобы исходная система имела более трёх различных решений, прямая \(a=z\) должна иметь больше трёх точек пересечения с графиком \(x^2=2|x|-a\). Найдём количество пересечений при различных значениях \(a\): - при \(a 0\) и до момента прохождения через вершины парабол \((a=1)\) прямая \(a=z\) будет иметь четыре точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 4 корня; - при прохождении через вершины парабол \((a=1)\) прямая \(a=z\) будет иметь две точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 2 корня; - при \(a>1\) точки пересечения не будет, значит, исходное уравнение не будет иметь корней. Таким образом, исходное уравнение имеет более трёх различных решений \(a\in (0;1)\). Ответ: \(a\in (0;1)\).