Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
б) Найдите $PQ$, если $AM=1$, $BM=3$, а $Q$ — середина дуги $MB$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
б) Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^\circ$.

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B -$ шестое по величине число, а $S -$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудаленной от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=16$.

В июле $2020$ года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $30\%$ по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму будет взят кредит банке, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на $78 030$ рублей больше суммы взятого кредита.

а) Решите уравнение: $2\cos^{3} x+\sqrt{3}\cos^{2} x+2\cos x+\sqrt{3} =0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi ;-\dfrac{\pi }{2}\right]$.

В правильной треугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶$ сторона основания $𝐴𝐵=5$, а боковое ребро $𝑆𝐴=3$. На ребрах $𝐴𝐵$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝐾$ и $𝑀$ соответственно, причем $𝐴𝐾:𝐾𝐵=𝑆𝑀:𝑀𝐶=1:4$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑀$ и параллельна $𝑆𝐴$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐶$ в отношении $1:4$, считая от вершины $𝐴$.

б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑀$.

а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $3\cos 2x-5\sin x+1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\sin x\cdot\cos 2x+\sin x=\sqrt{3}\cos^2x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\dfrac{\log_{2}^2 \left(\sin x\right)+\log_{2}\left(\sin x\right)}{2\cos x +\sqrt{3}}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $4^{\sin x}+4^{\sin (x+\pi)}=\dfrac{5}{2}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sin^2x-\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sin^2x+3\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+2=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x}+2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x}-3=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;4\pi]$.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$  — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

Решите неравенство: $3^x+\dfrac{243}{3^x-36}\geq 0$.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ – в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $3$ и $4$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена прямая $MK$, пересекающая обе окружности в точках $M$ и $K$, причем точка $A$ находится между ними.
а) Докажите, что треугольники $BMK$ и $O_1AO_2$ подобны.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $MK$, если $O_1O_2=5$, $MK=7$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

а) Решите уравнение: $\cos\left(2x-\dfrac{\pi }{2}\right) =\sqrt{3}\cos x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right]$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=20$ и $BC=15$.

а) Решите уравнение: $2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.