Решите неравенство: $\log_6(21-7x)\geq\log_6(x^2-8x+15)+\log_6(x+3)$.

Ограничения: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 21-7x >0\\ x^{2} -8x+15 >0\\ x+3 >0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x 0\\ x >-3 \end{array} \right. \end{array}$ Итоговое ограничение: $x\in (-3;3)$ Перейдем к неравенству: $\log_6(21-7x)\geq\log_6((x^2-8x+15)(x+3))\\ 21-7x\geq (x^2-8x+15)(x+3)\\ 7(3-x)\geq (x-3)(x-5)(x+3)$ Домножим на $-1$ обе части и поменяем знак: $7(x-3)\leq (-1)(x-3)(x-5)(x+3)\\ 7(x-3)+(x-3)(x-5)(x+3)\leq 0\\ (x-3)(7+(x-5)(x+3))\leq 0\\ (x-3)(7+x^2-2x-15)\leq 0\\ (x-3)(x^2-2x-8)\leq 0\\ (x-3)(x-4)(x+2)\leq 0$ Применим метод интервалов: Учитывая ограничения: Ответ: $x\in (-3;-2]$

Транснациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на $\frac{1}{3}$. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на $20\%$ (после второй скупки общее число выкупленных акций увеличилось на $20\%$), а в результате скупки по третьей цене — еще на $20\%$. Найдите цену за одну акцию при третьем предложении и общее количество скупленных акций, если начальное предложение составляло $27$ за одну акцию, а по второй цене Amako скупила $15$ тысяч акций.

Цена одной акции второго предложения: $27+\frac{27}{3}=36$ Значит, общее количество выкупленных акций первого предложения составит: $\frac{15000}{0,2}=75000$ Так как по второй цене Amako скупила $15$ тысяч акций, тогда: $75000+15000=90000$ Цена одной акции третьего предложения: $36+\frac{36}{3}=48$ После второй скупки общее число выкупленных акций увеличилось на $20\%$, значит: $90000\cdot 1,2=108000$ Значит, общее количество скупленных акций $108000$, при цене за третье предложение $48$. Ответ: цена третьего предложения составила $48 за одну акцию; всего было выкуплено $108 000$ акций.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$. а) Докажите, что $AE$ параллельно $BD$. б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

а) Проведем общую касательную к окружностям в точке касания $C$. Угол между этой касательной и $AC$ обозначим за $\alpha$. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой: $\angle DBC=\angle \alpha =\angle AEC$ Таким образом, прямые $DB$ и $AE$ параллельны. б) Заметим, что $BD$ и $AE$ - диаметры окружностей. Тогда $BD=16,AE=30$, треугольники $DBC$ и $AEC$ подобны с коэффициентом подобия: $k=\frac{16}{30} =\frac{8}{15}$ Пусть $AC=BC=x$, заметим, что $CE:CB=15:8$, следовательно, $CE=\frac{15}{8} x$. По теореме Пифагора для треугольника $ACE$: $x^{2} +\left(\frac{15}{8} x\right)^{2} =30^{2} \Rightarrow x=\frac{240}{17}$ Ответ: б) $\frac{240}{17}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\displaystyle \begin{cases}( x-2)( y+2x-4) =|x-2|^{3} ,\\y=x+a\end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.

Раскроем модуль: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} |x-2|=x-2,если\ x-2\geq 0\\ |x-2|=2-x,если\ x-2< 0 \end{array} \right.$ Из первого уравнения получаем систему: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} ( x-2)( y+2x-4) =( x-2)^{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\geq 0 \end{cases}\\ \begin{cases} ( x-2)( y+2x-4) =( 2-x)^{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2< 0 \end{cases} \end{array} \right.$ Упростим первое выражение: $(x-2)(y+2x-4)=(x-2)^3\\ (x-2)(y+2x-4)-(x-2)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4-(x-2)^2)=0\\ (x-2)(y+2x-4-x^2+4x-4)=0\\ (x-2)(y-x^2+6x-8)=0$ Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем совокупность: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ \ \ \ \ x=2\\ y=x^{2} -6x+8 \end{array} \right. \ при\ x\geq 2$ Упростим второе выражение: $(x-2)(y+2x-4)=(2-x)^3\\ (x-2)(y+2x-4)-(2-x)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4)+(-2+x)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4+(x-2)^2)=0\\ (x-2)(y+2x-4+x^2-4x+4)=0\\ (x-2)(y+x^2-2x)=0$ Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем совокупность: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ \ \ x=2\\ y=-x^{2} +2x \end{array} \right. \ при\ x< 2$ Наша заданная система принимает вид: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \left[ \begin{array}{l l} x=2\\ y=-x^{2} +2x \end{array} \right. \ \ при\ x< 2\\ \left[ \begin{array}{l l} x=2\\ y=x^{2} -6x+8 \end{array} \right. \ при\ x\geq 2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x+a \end{array} \right.$ Наш график принимает такой вид. Он выделен синим цветом. Рассмотрим прямую $y=x+a$. Значение $a$ влияет на сдвиг прямой $y=x$ по оси $y$. Прямая будет иметь 2 точки пересечения с графиком $y=x^2-6x+8$ до момента касания с графиком . В этой точке она будет иметь три точки пересечения с графиком. Найдем значение $a$ в этой точке: Так как графики $y=x^2-6x+8$ и $y=x+a$ пересекаются в одной точке, то мы можем приравнять значения $y$: $x^2-6x+8=x+a\\ x^2-6x+8-x-a=0\\ x^2-7x+8-a=0$ Данное квадратное уравнение должно иметь только один корень, значит дискриминант будет равен 0. $D=b^2-4ac=49-4\cdot (8-a)=49-32+4a=17+4a\\ 4a+17=0\\ 4a=-17\\ a=-\frac{17}{4}$ При увеличении значения $a$ будет 4 точки пересечения с графиком до момента прохождения прямой $y=x+a$ через точку (2;0). При прохождении через данную точку будет 3 точки пересечения. Найдем значение $a$: $0=2+a\\ a=-2$ При увеличении значения $a$ будет опять 4 точки пересечения до момента касания с графиком $y=-x^2+2x$. При прохождении через данную точку будет 3 точки пересечения. Найдем значение $a$: Так как графики $y=-x^2+2$ и $y=x+a$ пересекаются в одной точке, то мы можем приравнять значения $y$: $-x^2+2x=x+a\\ -x^2+2x-x-a=0\\ -x^2+x-a=0\\ x^2-x+a=0$ Данное квадратное уравнение должно иметь только один корень, значит дискриминант будет равен 0. $D=b^2-4ac=1-4a\\ 1-4a=0\\ 4a=1\\ a=\frac{1}{4}$ При увеличении значения а будет 2 точки пересечения. Получаем ответ. Ответ: $a\in (-\frac{17}{4};-2)\cup (-2;\frac{1}{4})$.

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. S – это сумма получившихся 4 чисел. а) Может ли S = 421? б) Может ли S = 9,2? в) Какое наибольшее может быть S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

а) Да: $\frac{209}{2} +\frac{210}{2} +\frac{211}{2} +\frac{212}{2} =421$ б) Нет, числа не могут быть трехзначными, так как $\frac{109}{9}$ - наименьшее >10, числа не однозначные, если все однозначные, то сумма = 4, если часть однозначных, то присутствует 10, которое можно делить только на $1\frac{10}{1} >9,2$ Числа двузначные $\Rightarrow$ наименьшая $S=\frac{16}{6} +\frac{17}{7} +\frac{18}{8} +\frac{19}{9}$, так как наименьшая первая цифра - 1, наибольшие вторые цифры - 6, 7, 8, 9 $S=\frac{16}{6} +\frac{17}{7} +\frac{18}{8} +\frac{19}{9} =9\cdot \frac{115}{252} >9,2$ в) Пример: 916,917,918,919 Докажем, что больше быть не может: 1) Каждое слагаемое >900, значит все числа, которые начинаются не с 9 не подходят 2) Все числа должны иметь цифру 1, иначе даже $\frac{992}{2} < 900$ 3) Из пункта 1 и 2 вывод, что в разряде сотен 9, в разряде десятков 1 916,917,918,919 - наибольшее из подходящих $S= 916+917+918+919=3670$ Ответ: а) Да; б) Нет; в) 3670.