Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите корень уравнения $3^{\log_{27}(2x-9)}=3$.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0{,}94$. Вероятность того, что окажется меньше $15$ пассажиров, равна $0{,}56$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$ включительно.

В коробке $\\5$ синих, $\\9$ красных и $11$ зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Найдите корень уравнения $\sqrt{44 - 5x} = 3$.

Найдите значение выражения $\log_3 2 \cdot \log_2 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Смешав $45\%$-й и $97\%$-й растворы кислоты и добавив $10$ кг чистой воды, получили $62\%$-й раствор кислоты. Если бы вместо $10$ кг воды добавили $10$ кг $50\%$-го раствора той же кислоты, то получили бы $72\%$-й раствор кислоты. Сколько килограммов $45\%$-го раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображены графики функций $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

а) Решите уравнение  
$2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x.$  
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABNM$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$.  
а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4$, считая от вершины $S$.  
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство  

$\dfrac{27^x - 9^{x+1} + 3^{x+3} - 27}{50x^2 - 110x + 60{,}5} \geq 0.$

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$.  
а) Докажите, что $BM = PQ$.  
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение  
$\left( |x - a^2| + |x + 1| \right)^2 - 7\left( |x - a^2| + |x + 1| \right) + 4a^2 + 4 = 0$  
имеет ровно два различных корня.

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.  
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?  
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?  
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, угол $C$ равен $134^\circ$, угол $CBD$ — внешний. Найдите угол $CBD$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(25; 0)$ и $\overrightarrow{b}(1; -5)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $4$ мл.
Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

В группе туристов $20$ человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна$0{,}2$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?

Найдите корень уравнения $\log_8(5x + 47) = 3$.

Найдите значение выражения $25^{2\sqrt{8} + 3} \cdot 5^{-3 - 4\sqrt{8}}$.

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \dfrac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$м/с. Ответ дайте в м/с.

Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $104$ литра она заполняет на $5$ минут дольше, чем вторая труба?