Решите уравнение \(\sqrt{14x-10} = 5\).

Возведем обе части в квадрат и получим: \(14x - 10 = 25 \\ 14x = 35 \\ x = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2, \! 5\)

Найдите значение выражения \(11^9 : \left(11^2\right)^4\).

Так как \(\left(a^b\right)^c = a^{bc}\), то: \(11^9 : \left(11^2\right)^4 = 11^9 : 11^8 = 11^{9-8} = 11^1 = 11\)

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\). Найдите количество корней уравнения \(f'(x) = 0\), принадлежащих промежутку \([-7;7]\).

Производная равна нулю в тех точках, в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Тогда нам подходят точки: всего тогда точек 7.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P = \sigma ST^4\), где \(P\) – мощность излучения звезды (в ваттах), \(\sigma = 5, \! 7 \cdot 10^{-8}\) \((\)Вт/м\(^2 \cdot\) К\(^4)\) – постоянная, \(S\) – площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а \(T\) – температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\dfrac{11}{60} \cdot 10^{20}\) м\(^2\), а мощность ее излучения равна \(1, \! 672 \cdot 10^{29}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

\(P = \sigma ST^4 \Rightarrow T^4 = \frac{P}{\sigma S}\) Подставим значения и найдем \(T\): \(T^4 = \frac{1, \! 672 \cdot 10^{29} \cdot 60}{5, \! 7 \cdot 10^{-8} \cdot 11 \cdot 10^{20}} = \frac{1672 \cdot 10^{27} \cdot 6}{57 \cdot 10^{11} \cdot 11} = \frac{1672 \cdot 10^{16} \cdot 6}{57 \cdot 11} = \\ = \frac{152 \cdot 10^{16} \cdot 2}{19} = 8 \cdot 2 \cdot 10^{16} = 2^4 \cdot 10^{16} \\ \Rightarrow T = \sqrt[4]{T^4} =\sqrt[4]{2^4 \cdot 10^{16}} = 2 \cdot 10^4 = 20 \ 000\)

Имеются два сосуда. Первый содержит \(40\) кг, а второй – \(10\) кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий \(68\%\) кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий \(65\%\) кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть: \(k_1\) – концентрация в первом сосуде \(k_2\) – концентрация во втором сосуде \(m\) – масса раствора Составим систему уравнений из условия задачи: \(\left\{ \begin{array}{l} 40k_1 + 10k_2 = (40+10) \cdot 0, \! 68 \\ mk_1 + mk_2 = (m+m) \cdot 0, \! 65 \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 40k_1 + 10k_2 = 5 \cdot 6, \! 8 \\ m(k_1 + k_2) = 2m \cdot 0, \! 65 \ \ | : m \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 40k_1 + 10k_2 = 34\\ k_1 + k_2 = 1, \! 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} 40k_1 + 10k_2 = 34 & (1)\\ k_2 = 1, \! 3 - k_1 & (2) \end{array} \right.\) Подставим \(k_2\) из \((2)\) в \((1)\) и получим: \(40k_1 + 13 - 10k_1 = 34 \\ 30k_1 = 21 \\ k_1 = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}\) Тогда масса кислоты в первом сосуде равна: \(40k_1 = \frac{40\cdot 7}{10} = 4 \cdot 7 = 28\)