Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Конкурс исполнителей проводится в $3$ дня. Всего заявлено $70$ выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано $28$ выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

В сборнике билетов по физике всего $25$ билетов, в $15$ из них встречается вопрос по теме «Механика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Механика».

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первые три мишени и не попадёт в четвёртую.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при выстреле равна $0,4$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0,6$?

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше чем $810$ г, равна $0,97$. Вероятность того, что масса окажется больше чем $790$ г, равна $0,91$. Найдите вероятность того, что масса буханки больше чем $790$ г, но меньше чем $810$ г.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,4$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0,04$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0,96$. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0,01$. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите корень уравнения $\log_5(x - 6) = 2$.

Найдите корень уравнения $\log_7(4 - x) = 2$.

Решите уравнение $(x - 3)^3 = 125$.

Решите уравнение $\dfrac{1}{3x + 5} = \dfrac{1}{14}.$

Решите уравнение $\sqrt[3]{x - 5} = 3.$

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{7})^2}{14}$.

Найдите $2 \cos 2\alpha$, если $\cos \alpha = 0{,}1$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{7,5} \cdot 4^{6,5}}{12^{5,5}}$.

Найдите значение выражения $24\sqrt{6} \cos \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos \dfrac{11\pi}{6}$.

Найдите значение выражения $\left( \sqrt{12} - \sqrt{8} \right) \cdot \left( \sqrt{12} + \sqrt{8} \right)$.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}, x_{11}, x_{12}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$, определённой на интервале $(-5; 9)$. Найдите решение уравнения
$f'(x) = 0$ на отрезке $[2; 3{,}5]$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6; 5)$. В какой точке отрезка $[-1; 4]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ – мощность излучения звезды в ваттах, $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ – постоянная Стефана-Больцмана, $S$ – площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ – температура в Кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{16} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12 \cdot 10^{25} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24 \, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3 \, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$м. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 57$км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 8$км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением
$S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $45$ км от города. Ответ выразите в минутах.