Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство
$\dfrac{31 - 5 \cdot 2^x}{4^x - 24 \cdot 2^x + 128} \geq 0{,}25.$

Решите неравенство

$\dfrac{2^x}{2^x - 8} + \dfrac{2^x + 8}{2^x - 4} + \dfrac{66}{4^x - 12 \cdot 2^x + 32} \leq 0.$

Решите неравенство

$\dfrac{52}{\left(3^{3-x^2}-1\right)^2} - \dfrac{28}{3^{3-x^2}-1} + 1 \geq 0.$

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ$, $\angle NKL = \angle KLM = 120^\circ$.
a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 3$.

Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$. В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP$. Известно, что $AB = BQ$.
a) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 21$, $AB = BQ = 29$.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла, \( AM \) и \( CN \) — биссектрисы треугольников \( ACH \) и \( BCH \) соответственно.

а) Докажите, что прямые \( AM \) и \( CN \) перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка \( MN \), если \( BC = 26 \) и \( \sin \angle ABC = \dfrac{4}{9} \).

Сумма оснований трапеции равна $17$, а её диагонали равны $8$ и $15$.
a) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дан ромб $ABCD$. Точки $K$ и $P$ — середины сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Проведены $AK$ и $AP$ таким образом, что они пересекают диагональ $BD$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.
a) Докажите, что сумма площадей треугольников $DKT$ и $QBP$ равна площади треугольника $AQT$.
б) Известно, что в $TKCQP$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $12\sqrt{5}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$\begin{cases} |x - a| + |y| = 2 \\ y = \sqrt{4 - x^2} \end{cases}$
имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$a \left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 + 5 \left( x + \dfrac{1}{x} \right) - 9a + 15 = 0$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(5x + |x - a^2| - 4|x + 1| - a^2)^2 + (a + 2)(5x + |x - a^2| - 4|x + 1| - a^2) + 1 = 0$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x^2 - a^2| = |x + a| \cdot \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$
имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\dfrac{(a - x - 4)(a^2 + x^2 - 10)}{\sqrt{-6x - x^2}} = 0$
имеет ровно два различных решения.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $2376$.
В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число $17$ заменили на число $71$.
a) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $6$ раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
a) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Есть числа $A$ и $B$. Из них можно сделать числа $A + 2$ и $B - 1$ или $A - 1$ и $B + 2$, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что $A = 5$, $B = 7$.
a) Можно ли за $50$ ходов создать пару, где одно из чисел равно $100$?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна $400$?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали $100$?

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Серёжа переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Серёжа) и получил двузначное число $C$.
a) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A > 150$?
б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leq A < 600$?
в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
a) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?
б) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$.

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в $9$ раз, а радиус основания останется прежним?

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: $4$ из Аргентины, $7$ из Бразилии, $5$ из Парагвая и $4$ из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.