В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по \(141\) тыс. рублей; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 году будет равен \(630\) тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

\(S\) – сумма кредита \(r\% = 20 \%\) – начисляемые проценты \(k = 1 + \frac{r}{100} =1, \! 2\) Составим математическую модель (считаем в тыс. рублей): \(((Sk - 141)k - 141)k - 630 = 0 \\ (Sk^2 - 141k - 141)k - 630 = 0 \\ Sk^3 - 141k^2 - 141k - 630 = 0 \\ S = \frac{630+141k^2+141k}{k^3} \\ S = \frac{630 + 141 \cdot \frac{12}{10}\left(\frac{12}{10} + 1\right)}{\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{1000}} = \frac{630 + \frac{141 \cdot 12 \cdot 22}{100}}{\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{1000}} = \frac{(63000+37224)\cdot 1000}{100 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12} = \\ = \frac{100224 \cdot 10}{12 \cdot 12 \cdot 12} = \frac{11136 \cdot 10}{4 \cdot 4 \cdot 12} = \frac{3712 \cdot 10}{4 \cdot 4 \cdot 4} = 580\) Ответ: \(580 \ 000\)

В прямоугольной трапеции \(ABCD\) с прямым углом при вершине \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания \(AD\), вторая - боковых сторон, меньшего основания \(BC\) и первой окружности. а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание \(AD\) в точке \(P\). Докажите, что \(\dfrac{AP}{PD}=\sin \angle D\). б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \(3\) и \(1\).

а) Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке \(K\). Пусть точки \(M\) и \(Q\) - центры меньшей и большей окружностей соответственно. Тогда они равноудалены от сторон угла \(AKD\), значит лежат на его биссектрисе. Тогда \(P\in MQ \in KQ\). По свойству биссектрисы: \(\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AK}{KD}=\sin \angle ADK\) Ч.т.д. б) Опустим перпендикуляры \(MH_1,\ MZ,\ QH_2,\ QL\) в точки касания (см. рис.). \(MH_1= MZ=1,\ QH_2= QL=3\). Также пусть окружности касаются друг друга в точке \(X\). Проведем перпендикуляр \(MY\) на \(QH_2\). \(YH_2H_1M\) - прямоугольник, поэтому \(H_2Y=MH_1=1\). \(YQ=QH_2-YH_2=3-1=2\), \(QM=QX+XM=3+1=4\). В прямоугольном треугольнике \(QYM\) катет \(YQ\) равен половине гипотенузы \(QM\), поэтому \(\angle YMQ = 30^{\circ}\). \(\angle AKP = \angle YMQ\) как соответственные при параллельных прямых \(AK\) и \(MY\) (они перпендикулярны одной прямой \(QH_2\)) и секущей \(KP\). Так как \(KP\) - биссектриса, \(\angle PKD = \angle AKP = 30^{\circ},\ \angle BKC=60^{\circ},\ \angle BCK = 90^{\circ}-\angle BKC = 30^{\circ}\). \(MH_1BZ\) и \(H_2QLA\) - квадраты, их стороны соответственно равны \(1\) и \(3\). В прямоугольном треугольнике \(MH_1K\): \(H_1K=\dfrac{H_1M}{\mathrm{tg} \, 30^{\circ}}=\sqrt{3}\). \(BK=H_1K-H_1B=\sqrt{3}-1 \\ BC=BK\cdot \mathrm{tg} \, 60^{\circ}=3-\sqrt{3} \\ \Rightarrow S_{BKC}=\dfrac{1}{2}BK\cdot BC=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(3-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3\) В прямоугольном треугольнике \(H_2QK\): \(H_2K=\dfrac{H_2Q}{\mathrm{tg} \, 30^{\circ}}=3\sqrt{3}\). \(AK=H_2K+H_2A=3\sqrt{3}+3, \\ AD=AK\cdot \mathrm{tg} \, 60^{\circ}=9+3\sqrt{3} \\ \Rightarrow S_{AKD}=\dfrac{1}{2}AK\cdot AD=\dfrac{1}{2}(3\sqrt{3}+3)(9+3\sqrt{3})=18\sqrt{3}+27\) \(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{AKD}-S_{BKC}=16\sqrt{3}+30\) Ответ: б) \(30+16\sqrt{3}\)

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\left(2+|x+a|\right)^3 - \left(2+|x+a|\right)^2 = \left(3-x^2-2ax-2a^2\right)^3 - \left(3-x^2-2ax-2a^2\right)^2\) имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим функцию \(f(t) = t^3 -t^2\). \(f'(t)=3t^2-2t=t(3t-2)\). У функции два экстремума: \(t=0\) и \(t=\dfrac{2}{3}\). Слева от точки 0 производная положительна, а потом меняет знак - значит \(t=0\) локальный максимум. \(f(0)=0\). Так как \(|x+a|\geq 0\), то \(2+|x+a| \geq 2\). Так как при \(t\geq 2\) производная функции строго положительна, функция на этом луче монотонно возрастает, а \(f(2+|x+a|)\geq f(2)=4\). Левее точки \(t=2\) имеется точка максимума, но значение в ней меньше 4, а значит уравнение \(f(t)=f(z)\) при условии \(t\geq 2\) может существовать только если \(z\) также \(\geq 2\), в таком случае функцию можно рассматривать как монотонную и перейти к уравнению на аргументы: \(2+|x+a|=3-x^2-2ax-2a^2 \\ 2+|x+a|=3-(x+a)^2 -a^2\) Сделаем замену \(|x+a|=y,\ y\geq 0\), тогда уравнение примет вид: \(2+y=3-y^2-a^2 \Leftrightarrow y^2 +y+2 +a^2 -3=0 \Leftrightarrow y^2 +y +a^2 -1 =0\) Относительно \(y\) это квадратное уравнение, графиком которого является парабола с ветвями вверх. Тогда исходное уравнение имеет решение, если данное уравнение имеет неотрицательные решения. По теореме Виета сумма корней равна \(-1\), значит, если \(a^2-1 >0\), то оба корня одного знака, а значит отрицательны (так как их сумма отрицательное число). Тогда \(a^2 -1 \leq 0 \Leftrightarrow a\in [-1;\ 1]\). При таком условии свободный член параболы отрицательный, значит дискриминант всегда не меньше нуля, а значит уравнение имеет два корня, один из которых неотрицательный. Ответ: \([-1;\ 1]\)

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье - сумме цифр второго. а) Может ли сумма трех чисел быть равной \(420\)? б) Может ли сумма трех чисел быть равной \(419\)? в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число - трехзначное, а последнее равно \(5\)?

а) Да, например: Первое число равно \(398\), тогда второе \(3+9+8=20\), а третье \(2+0=2\): \(398+20+2=420\) б) Сумма цифр числа дает тот же остаток при делении на \(3\), что и само число. Значит, если первое число при делении на \(3\) имеет остаток \(a\), то второе тоже имеет остаток \(a\), и тогда третье тоже имеет остаток \(a\), а сумма тогда имеет остаток \(3a\), то есть делится на \(3\). Число \(419\) на \(3\) не делится, значит такого быть не может. в) Число дает тот же остаток при делении на \(9\), что и сумма его цифр. Значит у всех трех чисел одинаковые остатки от деления на \(9\). Значит первое число дает остаток \(5\) при делении на \(9\). Первое такое число \(99+5=104\), а последнее \(1000-5=995\). Всего таких чисел \(\dfrac{995-104}{9}+1=100\). Так как каждое из этих чисел меньше \(999\), сумма их цифр меньше \(27\). Значит в тройках с этими числами второе будет двузначным или однозначным, то есть оно может равняться \(23\), \(14\) или \(5\). Значит третье число точно будет равно \(5\). Нам не подходят только числа с суммой цифр равной \(5\), так как числа в тройке по условию должны быть различными. Это число \(500\) и числа, составленные из наборов цифр \(\{4, 1, 0\}, \{3, 1, 1\}, \{3, 2, 0\}\) и \(\{2, 2, 1\}\). Из первого набора можно составить \(2\cdot 2\cdot 1 =4\) числа, так как на первое место \(2\) варианта, на второе тоже \(2\), и на последнее \(1\). Из второго набора можно составить \(3\) числа, так как тройка может стоять на первом, втором или третьем местах. Из третьего набора можно составить \(4\) числа, по аналогии с первым набором. Из четвертого - \(3\) числа по аналогии со вторым набором. Итого из \(100\) чисел нам подходят: \(100-1-4-3-4-3=85\) Ответ: а) да, б) нет, в) \(85\)