Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 14$ м/с и $v = 10$ м/с— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет ровно $150$ Гц?

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 5$ моля воздуха объёмом $V_1 = 20$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 13,4 \ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, а $T = 300 \ \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $20100$ Дж.

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за $24$ минуты, а одна Настя — за $42$ минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на $15$ вопросов теста, а Ваня — на $24$. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на $105$ минут. Сколько вопросов содержал тест?

Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\%$ меди, второй — $40\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $3$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Два велосипедиста одновременно отправляются в $190$-километровый пробег. Первый едет со скоростью на $9$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на $9$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние между которыми равно $168$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $2$ часа после этого следом за ним со скоростью, на $2$ км/ч большей скорости первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $B$ оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций вида $f(x) = a\sqrt{x}$ и $g(x) = kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a^x$. Найдите значение $f(3)$.

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(30)$.

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Найдите $f(10)$.

На рисунке изображены графики функций $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.

a) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.

a) Решите уравнение $2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.

a) Решите уравнение $\sin\left(-2x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(4\pi - x) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.

a) Решите уравнение $\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

a) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $K$ – середина ребра $A_1B_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $K$ и $C$.

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $12$.

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает ребра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB = AN = BM = 3MN$.
a) Докажите, что $SM : MC = SN : ND = 1 : 2$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

В правильной треугольной призме $ABC_1A_1B_1C_1$ все ребра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$.
a) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $\alpha$, если все ребра призмы равны $16$.

Решите неравенство
$\dfrac{2^{3x} - 9 \cdot 4^x + 3 \cdot 2^{x+3} - 16}{x - 2} \geq 0.$

Решите неравенство
$7 \log_3 \left( x^2 - 7x + 12 \right) \leq 8 + \log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4}.$

Решите неравенство
$\dfrac{31 - 5 \cdot 2^x}{4^x - 24 \cdot 2^x + 128} \geq 0{,}25.$