На рисунке изображены графики функций $f(x) = \dfrac{k}{x}$ и $g(x) = ax+b$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдем коэффициенты уравнения прямой. Для этого подставим точки $(4;1)$ и $(5;-1)$ и решим систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} 4a + b = 1 \\ 5a + b = -1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1-4a \\ 5a + 1 -4a = -1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1-4a \\ a = -2 \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1+8 = 9 \\ a = -2 \end{array} \right. \\ \Rightarrow g(x) = -2x + 9$ Найдем коэффициент уравнения гиперболы. Для этого подставим точку $(4;1)$: $\frac{k}{4} = 1 \\ \Rightarrow k = 4 \\ \Rightarrow f(x) = \frac{4}{x}$ Теперь найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем значения функций: $-2x + 9 = \frac{4}{x} \ \ | \cdot x, \ x \ne 0 \\ -2x^2 + 9x = 4 \\ 2x^2 -9x + 4 = 0 \\ 2x^2 - 8x - x + 4 = 0 \\ 2x(x-4) - (x-4) = 0 \\ (2x-1)(x-4) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2} \\ x = 4 \end{array} \right.$ Абсцисса точки $A$ равна $4$, тогда абсцисса точки $B$ равна $\dfrac{1}{2} = 0, \! 5$.

Найдите наименьшее значение функции $y = 4x\sqrt{x} - 12x + 14$ на промежутке $[1; 9]$.

Чтобы найти наименьшее значение, необходимо найти нули производной функции: $y' = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} - 12 = 6\sqrt{x} - 12 \\ 6\sqrt{x} - 12 = 0 \\ \sqrt{x} = 2 \\ x = 4$ Определим промежутки возрастания и убывания на $\left[1;9\right]$: Получили, что $x = 4 \ -$ точка минимума на заданном отрезке. Найдем значение в этой точке: $y(4) = 4 \cdot 4\sqrt{4} - 12 \cdot 4 + 14 = 32 - 48 + 14 = -2$

а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2} \cos \dfrac{x}{2} = \sin x - 1$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; 4\pi]$.

По формуле синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$, тогда: $\sqrt{2} \cdot \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x - 1 \\ \sin x + \cos x + \sqrt{2}\cos \frac{x}{2} = \sin x - 1 \\ \cos x + \sqrt{2}\cos \dfrac{x}{2} + 1 = 0$ По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$, тогда: $2\cos^2 \frac{x}{2} -1 + \sqrt{2}\cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \\ 2\cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{2}\cos \frac{x}{2} = 0 \\ \sqrt{2}\cos \frac{x}{2} \left(\sqrt{2}\cos \frac{x}{2} + 1\right) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l} \cos \dfrac{x}{2} = 0 \\ \cos \dfrac{x}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \\ \dfrac{x}{2} = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \\ x = \pm \dfrac{3\pi}{2} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.$ б) Отберем корни на $\left[3\pi; 4\pi \right]$ с помощью числовой окружности: Нам подойдут корни: $3\pi$ Ответ: а) $\pi + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \ \pm \dfrac{3\pi}{2} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$, б) $3\pi$

Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$. а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$. б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$.

а) Пусть $A_1C_1 \cap B_1D_1 = X$. Так как $A_1B_1C_1D_1$ – квадрат, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то $A_1X=XC_1,\ D_1X=XB_1$. Так как плоскость $DA_1C_1$ пересекает плоскость $BDD_1$ по прямой $DX$, и при этом точка $F$ принадлежит обеим плоскостям, $F\in DX$. В плоскости $BDD_1$ треугольник $BDF$ подобен треугольнику $D_1XF$ по двум углам ($\angle BDF = \angle D_1XF$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BD$ и $B_1D_1$ и секущей $DX$, $\angle DFB = \angle XFD_1$ как вертикальные). $\Rightarrow BF:FD_1 = DF:FX=BD:XD_1=2:1$ В треугольнике $DA_1C_1$ $DX$ медиана, а раз точка $F$ делит ее в отношении $2:1$, то $F$ - точка пересечения медиан. Тогда $F\in A_1O$, так как $O$ середина стороны $DC_1$ (в квадрате $DCC_1D_1$ диагонали точкой пересечения делятся пополам). $\Rightarrow A_1F:FO=2:1=BF:FD_1$ Ч.т.д. б) $MN$ - средняя линия треугольника $BAA_1$, значит $MN \parallel BA_1 \parallel CD_1$. Так как $CDD_1C_1$ квадрат, то его диагонали перпендикулярны $\Rightarrow CD_1 \perp DC_1$. Прямоугольные треугольники $DA_1D_1$ и $A_1D_1C_1$ равны по двум катетам ($DD_1=CC_1$, $D_1A_1$ общий), значит $DA_1=C_1A_1$, а треугольник $DA_1C_1$ равнобедренный. $A_1O$ - медиана и высота, значит $A_1O \perp DC_1$. Тогда искомый угол по определению является углом $A_1OD_1$. Пусть сторона куба равна $x$. Тогда по теореме Пифагора: $CD_1 = \sqrt{DC^2 +DD_1 ^2}=x\sqrt{2} \\ OD_1=\dfrac{CD_1}{2}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \angle A_1OD_1 =\mathrm{arctg} \, \dfrac{A_1D_1}{OD_1}=\mathrm{arctg} \, \dfrac{x}{\frac{x\sqrt{2}}{2}}=\mathrm{arctg} \, \sqrt{2}$ Ответ: б) $\mathrm{arctg} \, \sqrt{2}$ или $\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ или $\arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Решите неравенство $\dfrac{81^x + 2 \cdot 9^x - 35}{9 - 9^x} \leqslant -4$.

$\dfrac{9^{2x} + 2 \cdot 9^x - 35}{9 - 9^x} \leqslant -4$ Пусть $9^x = t$, тогда: $\dfrac{t^2 + 2t - 35}{9 - t} \leqslant -4 \\ \dfrac{t^2 + 2t - 35+36-4t}{9 - t} \leqslant 0 \\ \dfrac{t^2 -2t + 1}{9-t} \leqslant 0 \ \ | \cdot (-1) \\ \dfrac{(t-1)^2}{t-9} \geqslant 0$ По методу интервалов: $\Rightarrow t \in \{1\} \cup (9; +\infty)$ Обратная замена: $\left[ \begin{array}{l} 9^x = 1 \\ 9^x > 9 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 9^x = 9^0 \\ 9^x > 9^1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x > 1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow x \in \{0\} \cup (1; +\infty)$ Ответ: $\{0\} \cup (1; +\infty)$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 44 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 16871 балл
Гипербола (обратная пропорциональность)
На рисунке изображены графики функций $f(x) = \dfrac{k}{x}$ и $g(x) = ax+b$ , которые пересекаются в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .
id 108361 балл
Степенные функции
Найдите наименьшее значение функции $y = 4x\sqrt{x} - 12x + 14$ на промежутке $[1; 9]$ .
id 30182 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2} \cos \dfrac{x}{2} = \sin x - 1$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; 4\pi]$ .
id 253 балла
Прямоугольный параллелепипед
Точка $O$ - точка пересечения диагоналей грани $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Плоскость $DA_1C_1$ пересекает диагональ $BD_1$ в точке $F$ .
а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$ .
б) Точки $M$ и $N$ - середины ребер $AB$ и $AA_1$ соответственно. Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью $DA_1C_1$ .
id 30392 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство $\dfrac{81^x + 2 \cdot 9^x - 35}{9 - 9^x} \leqslant -4$ .