Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "сумма очков равна $8$".

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0{,}2$. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна $0{,}18$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите корень уравнения $3^{x+6} = 9^{2x}$.

Решите уравнение $\sqrt{2x + 3} = x$. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Найдите значение выражения $\dfrac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}.$

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

На рисунке изображен график функции $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4; 8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[1; 6]$.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение$\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2},$где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6$ град/$\text{мин}^2$— угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^\circ$. Ответ дайте в минутах.

Имеются два сосуда. Первый содержит $40$ кг, а второй — $25$ кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $30\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\%$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Первый час автомобиль ехал со скоростью $115$ км/ч, следующие три часа — со скоростью $45$ км/ч, а затем два часа — со скоростью $40$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = kx + b$. Найдите значение $f(7)$.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

a) Решите уравнение $16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \dfrac{17}{4}.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right].$

a) Решите уравнение $\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 0; \dfrac{3\pi}{2} \right].$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6\sqrt{2}$, $AD = 10$, $AA_1 = 16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E : EA = 5 : 3$ и $B_1F : FB = 5 : 11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
a) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 3 : 1$, а точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AA_1 = 5$, $AB = 12$, $\cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}$.

Решите неравенство
$\dfrac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \leq 2^{x+1} - \dfrac{1}{2^x - 2} + \dfrac{3}{2^{x+1} - 1}.$

Решите неравенство
$\log_3^2 (25 - x^2) - 3 \log_3 (25 - x^2) + 2 \geq 0.$

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $34\,150$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
a) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 21 : 10$, $BA_1 : A_1C = 2 : 3$, $AB_1 : B_1C = 2 : 5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
a) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 63$, $BC = 25$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a$
имеет ровно два различных корня.