Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите значение выражения $\sqrt{27} \cos^2 \frac{19\pi}{12} - \sqrt{27} \sin^2 \frac{19\pi}{12}$.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой $4$. Найдите значение производной функции в точке $x_0 = 4$.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии $4$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $28$ километров?

Каждая из двух труб с одинаковой пропускной способностью может наполнить бассейн за $11$ часов. Через $3$ часа после того, как одна труба наполняла бассейн, подключили вторую трубу, и бассейн наполнили две трубы вместе. Сколько часов потребовалось на наполнение бассейна?

На рисунке изображён график функции $f(x) = \dfrac{k}{x} + b$. Найдите $f(-15)$.

a) Решите уравнение $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1{,}5-3x} + 640 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; -0{,}5]$.

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{5}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K : KD_1 = 2 : 1$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство $\log_{0,5} \dfrac{x - 3}{x + 3} + 2 \log_4 \left( x^2 - 9 \right) \geq 5.$

Точка $M$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, $DB = DM$.
a) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}75$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что в четырёхугольник $ABPD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB = 4$.

Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых уравнение
$|x - a| + |2x + 3a| = 1 - ax$
имеет ровно одно решение.

Для набора $60$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.
a) Может ли одним из этих чисел быть число $-400$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $400$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

В парке $500$ деревьев, из них берёз — $120$, сосен — $180$, а остальные — дубы. Найдите вероятность того, что случайно выбранное дерево окажется дубом.

В коробке $80$ конфет. Из них $25$ — шоколадные, $35$ — карамельные, а остальные — леденцы. Найдите вероятность того, что случайно взятая конфета окажется леденцом.

В спортивном лагере $150$ детей. В трёх отрядах по $40$ человек, остальные — в четвёртом отряде. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ребёнок окажется из четвёртого отряда.

В библиотеку привезли $600$ учебников. На трёх полках разместили по $140$ учебников, остальные поместили на четвёртую полку. Найдите вероятность того, что случайно взятый учебник окажется с четвёртой полки.

В кинотеатре $800$ мест разместили в $5$ залах. В первых четырёх залах по $150$ мест, остальные — в пятом зале. Найдите вероятность того, что случайно выбранное место окажется в пятом зале.

В санатории $500$ отдыхающих распределили по $5$ корпусам. В четырёх корпусах выделили по $90$ мест, остальные — в пятом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный отдыхающий будет проживать в пятом корпусе.

В концертном зале $450$ мест разместили в $3$ секторах. В первом секторе $120$ мест, во втором $150$ мест, остальные — в третьем секторе. Найдите вероятность того, что случайно выбранное место окажется в третьем секторе.

В магазин привезли $300$ кг овощей. В первый день продали $70$ кг, во второй $80$ кг, а остальные — в третий день. Найдите вероятность того, что случайно выбранный килограмм овощей был продан в третий день.

В летнем лагере $250$ детей распределили по $5$ отрядам. В трёх отрядах по $40$ детей, в одном отряде $50$ детей, а остальные — в пятом отряде. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ребёнок окажется из пятого отряда.

В университете $600$ студентов распределили по $4$ факультетам. На первом факультете $120$ студентов, на втором $150$ студентов, на третьем $180$ студентов, а остальные — на четвёртом факультете. Найдите вероятность того, что случайно выбранный студент учится на четвёртом факультете.

В классе $25$ учеников, из них $10$ мальчиков. Учитель случайным образом выбирает одного ученика для ответа у доски. Найдите вероятность того, что выбранным окажется девочка.

В спортивной секции $30$ человек, из них $18$ занимаются футболом, а остальные — баскетболом. Найдите вероятность того, что случайно выбранный спортсмен окажется баскетболистом.

В туристической группе $40$ человек, из них $16$ говорят по-английски, $12$ — по-немецки, а остальные — по-французски. Найдите вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски.

В театральной студии $50$ участников. Из них $20$ играют на сцене, $15$ занимаются светом, а остальные — звуком. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник занимается звуком.