Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a$
имеет ровно два различных корня.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.
a) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.
a) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AF$. Найдите угол $AFC$, если угол $ABC$ равен $76^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-3; 2)$ и $\overrightarrow{b}(-1; -9)$. Найдите длину вектора $3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен $102$. У второго цилиндра высота в $3$ раза больше, а радиус основания в $2$ раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Фабрика выпускает сумки. В среднем $6$ сумок из $250$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0{,}3$. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна $0{,}55$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $\sqrt{15x} = 1\dfrac{2}{3}x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите $\log_a \dfrac{a^4}{b^5}$, если $\log_a b = 15$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-22; 2)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-18; 1]$.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $192$ мг. Период его полураспада составляет $10$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $6$ мг.

Катер, скорость которого в неподвижной воде равна $28$ км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $2$ км/ч, стоянка длится $4$ часа, а в исходный пункт катер возвращается через $18$ часов после отплытия из него. Сколько километров прошёл катер за весь рейс?

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Найдите $f(3)$.

a) Решите уравнение $\sqrt{2\cos^3x - \sin^2x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
a) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит диагональ основания $AC$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB = 2\sqrt{3}$, $SA = 6$.

Решите неравенство
$\dfrac{9^x - 3^{x+2} + 8}{\log^2_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + \log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2)^2 + 1} \leq 0.$

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
a) Докажите, что $BN = (\sqrt{2} - 1)R$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $BNOG$, если $R = 6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y - 1, \\ y + 1 = 6\sqrt{a} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссеров и также $5$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $150$, но меньше $160$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
a) Может ли $k$ быть равно $3$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении $3:4$, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен $42$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в $5$ раз, а образующая увеличится в $2$ раза?

В чемпионате по шашкам участвует $76$ спортсменов, среди которых $13$ шашистов из России, в том числе Андрей Фомин. Для игр первого тура участников разбивают на игровые пары случайным образом. Найдите вероятность того, что в первом туре Андрей Фомин будет играть с каким-либо шашистом из России.

В группе туристов $16$ человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на две равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все три друга окажутся в одной группе.