Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

a) Решите уравнение $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right].$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Решите неравенство
$\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0.$

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
a) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a + b; a - b)$.
a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $41^\circ$. Найдите величину угла $AOD$. Ответ дайте в градусах.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $60$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $24^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, при этом $AB = 12$, $CD = 50$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $47^\circ$, угол $ABC$ равен $60^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(6; 4)$ и $\overrightarrow{b}(6; 5)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 1)$ и $\overrightarrow{b}(1; -3)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ и $5\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5; -9)$, $\overrightarrow{b}(7; 13)$ и $\overrightarrow{c}(-4; 11)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1; 2)$, $\overrightarrow{b}(3; -6)$ и $\overrightarrow{c}(4; -3)$. Найдите скалярное произведение $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}$.

От треугольной пирамиды, объём которой равен $34$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $100$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Во сколько раз увеличился объем конуса, если радиус основания увеличить в $12$ раз, а высоту оставить прежней?

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, B_1$.

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $30$. Найдите площадь поверхности шара.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит строго больше года, равна $0{,}94$. Вероятность того, что он прослужит строго больше двух лет, равна $0{,}8$. Найдите вероятность того, что чайник прослужит строго меньше двух лет, но больше года.

В чемпионате по гимнастике участвуют $70$ спортсменок: $29$ из Чехии, $27$ из Турции, остальные — из России. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из России.