В четырехугольнике $DOME$ вписана окружность, $DO = 59$, $ME = 39$. Найдите периметр четырехугольника $DOME$.

Так как в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны: $DE + OM = DO + ME =59 + 39 = 98$ Тогда периметр четырехугольника равен: $DE + OM + DO + ME = 2 \cdot 98 = 196$

На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.

Найдем координаты векторов: $\vec{u} = (-4; 3) \\ \vec{v} = (8; 4)$ Тогда скалярное произведение равно: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 = \\ = -4 \cdot 8 + 3 \cdot 4 = -32 + 12 = -20$

От треугольной пирамиды, объем которой равен $23$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h_S = 23$ Треугольники $AMK$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу: $\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC}, \ \angle{BAC} \ - \ общий \\ \Rightarrow \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{AM}{AB}\right)^2 = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow S_{AMK} = \frac{1}{4}S_{ABC}$ Тогда объем отсеченной треугольной пирамиды $SAMK$ равен: $V_{SAMK} = \frac{1}{3} \cdot S_{AMK} \cdot h_S = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}S_{ABC} \cdot h_S = \frac{23}{4} = 5, \! 75$

В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $6$ из России, $5$ из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая предпоследней, окажется из Китая.

Найдём число спортсменок из Китая: $20-6-5=9.$ Вероятность того, что предпоследней выступит спортсменка из Китая, равна отношению числа спортсменок из Китая к общему числу спортсменок: $P=\dfrac{9}{20}=0{,}45.$ Ответ: $0{,}45$.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0, \! 1$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Вероятность того, что одна лампа перегорит: $0{,}1.$ Вероятность того, что одна лампа не перегорит: $1-0{,}1=0{,}9.$ Найдём вероятность того, что все три лампы перегорят: $0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1=0{,}001.$ Тогда вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна вероятности противоположного события: $P=1-0{,}001=0{,}999.$ Ответ: $0{,}999$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 42 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 72451 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
В четырехугольнике $DOME$ вписана окружность, $DO = 59$ , $ME = 39$ . Найдите периметр четырехугольника $DOME$ .
id 21381 балл
Скалярное произведение векторов
На рисунке изображены два вектора. Найдите их скалярное произведение.
id 113781 балл
Пирамида
От треугольной пирамиды, объем которой равен $23$ , отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
id 93281 балл
Классическое определение вероятности
В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $6$ из России, $5$ из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая предпоследней, окажется из Китая.
id 112741 балл
Независимые события
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0, \! 1$ . Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.