а) Решите уравнение $4\sin^2x=\tg x$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$.

а) $4\sin^2x-\frac{\sin x}{\cos x}=0\\ \frac{4\sin^2x\cos x-\sin x}{\cos x}=0\\ \displaystyle \frac{\sin x( 4\sin x\cos x-1)}{\cos x} =0\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ 4\sin x\cos x-1=0 \end{array} \right.\\ \cos x\neq 0 \end{cases}\\ \displaystyle \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ 2\sin 2x-1=0 \end{array} \right.\\ \cos x\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ \sin 2x=\frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \cos x\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k\\ 2x=\frac{\pi }{6} +2\pi k\\ 2x=\frac{5\pi }{6} +2\pi k \end{array} \right.\\ x\neq \frac{\pi }{2} +\pi k \end{cases} ,k\in Z\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k\\ x=\frac{\pi }{12} +\pi k\\ x=\frac{5\pi }{12} +\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $[-\pi;0]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $-\pi\\ 0\\ -\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}\\ -\pi+\frac{\pi}{12}=-\frac{11\pi}{12}$ Ответ: а) {$\pi k;\frac{\pi}{12}+\pi k;\frac{5\pi}{12}+\pi k:k\in Z$}, б) $-\pi;-\frac{11\pi}{12};-\frac{7\pi}{12};0$.

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника $ABC$. а) Докажите, что $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$. б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt{3}$, $SC=5\sqrt{10}$.

а) $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$ $CO-проекция~SC \ на \ (ABC)\\ CH\perp AB\Rightarrow \ по \ ТТП \ получаем, \ что \ SC\perp AB\\ \Rightarrow AB\perp (SCH) \Rightarrow AB \perp SH$ В $\triangle{ASH}$ и $\triangle{SBH}$ по т. Пифагора: $SH^2=SA^2-AH^2=SB^2-BH^2\\ \Rightarrow SA^2-SB^2=AH^2-{BH}^{2}$ В $\triangle{AHC}$ по т. Пифагора: $AH^2=AC^2-CH^2$ В $\triangle{CHB}$ по т. Пифагора: $BH^2=BC^2-CH^2$ Тогда: $SA^2-SB^2=AC^2-CH^2-BC^2+CH^2\\ SA^2-SB^2=AC^2-BC^2\\ Ч.Т.Д.$ б) Рассмотрим треугольник $ABC$: В $\triangle{ACH}$ и $\triangle{CBH}$ по т. Пифагора: $75-x^2=400-(25-x)^2\\ 75-x^2=400-625+50x-x^2\\ 300=50x\Rightarrow x=6\\ CH=\sqrt{75-36}=\sqrt{39}\\ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{39}$ Вернемся к основному рисунку: $OC=\frac{CH}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}$ В $\triangle{SOC}$ по т. Пифагора: $SO=\sqrt{250-\frac{39}{4}}=\sqrt{\frac{961}{4}}=\frac{31}{2}$ Тогда: $V=\frac{1}{3}\cdot\frac{31}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{39}=\frac{775\sqrt{39}}{12}$ Ответ: $\frac{775\sqrt{39}}{12}$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 40 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 117411 балл
Задачи на движение по прямой
Из города А в город В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 3 часа 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?
id 1051 балл
Квадратный корень
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .
id 5062 балла
Степенные функции
Найдите наибольшее значение функции $y=x^3-6x^2+9x+5$ на отрезке $[0;3]$ .
id 120462 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $4\sin^2x=\tg x$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$ .
id 103 балла
Пирамида (2 часть)
Дана треугольная пирамида $SABC$ . Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника $ABC$ .
а) Докажите, что $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$ .
б) Найдите объём пирамиды $SABC$ , если $AB=25$ , $BC=20$ , $AC=5\sqrt{3}$ , $SC=5\sqrt{10}$ .