Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение: $2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение $15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\frac{13\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\log_4(2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x)=x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $2\sin 2x+2\sin (-x)-2\cos (-x)+1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

В группе туристов $50$ человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по $5$ человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0{,}7$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{3-x} = 81$.

Найдите значение выражения $3 \sin \dfrac{13\pi}{12} \cdot \cos \dfrac{13\pi}{12}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-12; 12)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-6; 11]$.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на $72$ км. Ответ дайте в минутах.

От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние между которыми равно $323$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $2$ часа после этого следом за ним со скоростью на $2$ км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт $B$ он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(30)$.

а) Решите уравнение  $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

Решите неравенство  
$\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0.$

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
а) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}  \left(x^2-5x-y+3\right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$?
в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $24$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 0)$ и $\overrightarrow{b}(1; 4)$. Найдите длину вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3$, $AD = 9$, $AA_1 = 4$.

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{4,2}\cdot 6^{7,2}}{12^{6,2}}$.