Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(4)$.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$, и $c$ - целые. Найдите значение $f(-12)$.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_ax$. Найдите значение $f(32)$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=10$. Известно, что $AB=BC=CD=6$.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б) Найдите $AD$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы в точке $N$.

а) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника $BOMN$, если $CN=4$ и $AM:MC=1:3$.

В ящике лежат $73$ овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна $1000$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше $1000$ г, равна $988$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше $1000$ г, равна $1030$ г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше $1000$ г и овощей массой больше $1000$ г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно $11$ овощей, масса каждого из которых равна $1000$ г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. $S\, –$ это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли $S = 421$?

б) Может ли$S = 9{,}2$?

в) Какое наибольшее может быть $S$, если известно, что 4 исходных числа не меньше $400$ и не больше $999$?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру $9$, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\left|x+\dfrac{a^2}{x}+1\right|+\left|x+\dfrac{a^2}{x}-1\right|=2$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}((x+5)^2+y^2-a^2)\ln (9-x^2-y^2)=0\\((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0\\\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0\\y^2=x^2\\\end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений:

$\begin{cases}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0\\x^2+y=xy+x\\\end{cases}$

имеет ровно четыре различных решения.

а) Решите уравнение $2\cos^3 x-\cos^2 x+2\cos x-1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos 2x=3\cos x-1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{5}{2}\right)^{\cos x}=2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение: $\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sin^{2} x+\sqrt{2}\sin\left( x+\dfrac{\pi }{4}\right) =\cos x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi ;-\dfrac{\pi }{2}\right]$.

а) Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x=2\cos^3 x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sin\left( x+\dfrac{\pi }{3}\right) +\cos2x =\sqrt{3}\cos x+1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi ;-\dfrac{3\pi }{2}\right]$.

а) Решите уравнение: $2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi }{2} ;4\pi \right]$.

а) Решите уравнение: $2\cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $\cos^2x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.