Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{a(2^x-2)+4^x}=2^x-a$ имеет единственное решение.

Преобразуем исходное уравнение: $\sqrt{a(2^x-2)+2^{2x}}=2^x-a\\ \sqrt{a(2^x-2)+(2^x)^2}=2^x-a$ Введём замену $2^x=t$, $t>0$: $\sqrt{a(t-2)+t^2}=t-a$ Для решения полученного уравнения наложим необходимые ограничения и возведём обе части в квадрат. Тогда полученное уравнение будет равносильно системе: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left(\sqrt{a( t-2) +t^{2}}\right)^{2} =( t-a)^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a( t-2) +t^{2} =t^{2} -2ta+a^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} at-2a=-2at+a^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3at=a^{2} +2a\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a^{2} +2a}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a( a+2)}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \end{array}$ Далее рассмотрим два случая. 1. $a=0$: $\displaystyle \begin{array}{l} \sqrt{0\cdot (2^x-2)+2^{2x}}=2^x \\ \sqrt{2^{2x}}=2^x \\ 2^x=2^x \end{array}$ Тогда при $a=0$ уравнение имеет бесконечное количество решений. Значит, $a=0$ нам не подходит. 2. $a\ne 0$: $\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a( a+2)}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ t-a\geq 0\\ t >0\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{a+2}{3} -a\geq 0\\ \frac{a+2}{3} >0\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{a+2-3a}{3} \geq 0\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{2-2a}{3} \geq 0\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ a\leq 1\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow a\in ( -2;0) \cup ( 0;1] \end{array}$ Таким образом, исходное уравнение будет иметь единственное решение при $a\in ( -2;0) \cup ( 0;1]$. Ответ: $a\in ( -2;0) \cup ( 0;1]$

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100$. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90$? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88$? в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Введем десятичную запись числа: $~\overline{abc} = 100a + 10b + c$ а) Да, может. К примеру, число $810$, частное и сумма его цифр равно $90$. б) Возьмём и представим данное число в виде $100a+10b+c$, здесь $a$, $b$, $c$ представляют цифры сотен, десятков и единиц. В данном номере получаем формулу: $100a+10b+c=88a+88b+88c\Rightarrow 12a=78b+87c\Rightarrow 4a=26b+29c$. Левая часть делится на $2$, значит, и правая часть должна делиться нацело, $26b$ делиться на $2$, значит, и $29c$ должно делиться на $2$. При этом, $c$ может быть равно $0$, $2$, $4$, $6$, $8$. Во всех этих случаях не существует натурального числа $a$, удовлетворяющего уравнению. Значит, такое невозможно. в) $\overline{abc}=100a+10b+c$, значит, $\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=x$, где $x$ – наибольшее натуральное значение, преобразуем данное уравнение: $a(100-x)+b(10-x)+c(1-x)=0$, допустим $x>101$, то каждое слагаемое отрицательное, что не подходит, так же не подходит число $100$. Решим данное задание перебором: $x=99\Rightarrow a-98b-98c=0\Rightarrow a=89b+98c$, так как $b=1$ и $c=0$ или $c=1$ и $b=0$, значит, наименьшее значение справа равно $89$. $x=98\Rightarrow 2a=88b+97c$, получаем наибольшее значение справа $18$, а самое маленькое справа $88$. Методом перебора получаем, что нам подходит $x=91$, рассмотрим этот случай: $x=91\Rightarrow 9a=81b+91c$, значит, наибольшее справа равно $81$, а справа наименьшее значение равна тоже $81$, значит, данное значение нам подходит. Это будет число $910$. Ответ: a) да, б) нет, в) 91.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 34 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 46484 балла
Уравнения и системы уравнений с исследованием ОДЗ
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение
$\sqrt{a(2^x-2)+4^x}=2^x-a$
имеет единственное решение.
id 46544 балла
Операции с числами и цифрами
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100$ .
а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90$ ?
б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88$ ?
в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
id 2751 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен $40$ , ее большая боковая сторона равна $11$ . Найдите радиус окружности
id 20971 балл
Скалярное произведение векторов
Даны векторы $\vec{a}(5;-7)$ и $\vec{b}(14;1)$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
id 113811 балл
Тела вращения
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $20\pi$ , а высота равна $4$ . Найдите диаметр основания.