Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $7\sqrt{2}$, угол $C$ равен $135^{\circ }$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $136^{\circ }$. Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $24$. Точка $E$ – середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $82^\circ$, угол $ABD$ равен $47^\circ$. Найдите угол $CAD$. Дайте ответ в градусах.

В ромбе $ABCD$ угол $CDA$ равен $78^{\circ }$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

В сборнике билетов по математике всего $45$ билетов, в $9$ из них встречается вопрос по теме «Неравенства». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Неравенства».

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2{,}2;-4)$ и $\overrightarrow{b}(-1{,}25;-1)$. Найдите скалярное произведение векторов $3\overrightarrow{a}$ и $4\overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{c}$, если $\overrightarrow{c}=0,5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$. В ответ запишите сумму координат вектора $\overrightarrow{c}$.

Найдите корень уравнения $(x-6)^3=1000$.

Найдите корень уравнения $\log_2(x+2)=3$.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $56^{\circ}$ и $77^{\circ}$. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CH$ равна $45\sqrt{3}$. Найдите $AB$.

Отрезки $AC$ и $BD$ − диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $130^{\circ }$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности, $O$ – центр окружности, сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ , а дуга $AD$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $151^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $104$ литра она заполняет на $5$ минут дольше, чем вторая труба?

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0 = 130$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=6$ м/с и $v=13$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет равна $140$ Гц? Ответ дайте в м/с.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1;2)$, $\overrightarrow{b}(-3;6)$ и $\overrightarrow{c}(4;-2)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(4)$.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.