а) Решите уравнение: \(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).

а) \(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\Leftrightarrow\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0\\ (\cos^2x+1)(2\cos x-1)=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos^{2} x+1=0\\ 2\cos x-1=0 \end{array} \right.\) \(\cos^2x+1=0\) - не имеет решений \(\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходит корень: \(2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\) Ответ: а) {\(\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k:k\in Z\)}, б) \(\frac{7\pi}{3}\)

Радиус основания конуса с вершиной \(𝑆\) и центром основания \(𝑂\) равен \(5\), а его высота равна \(\sqrt{51}\). Точка \(𝑀\) - середина образующей \(𝑆𝐴\) конуса, а точки \(𝑁\) и \(𝐵\) лежат на основании конуса, причем прямая \(𝑀𝑁\) параллельна образующей конуса \(𝑆𝐵\). а) Докажите, что \(\angle 𝐴𝑁𝑂\) - прямой. б) Найдите угол между прямой \(𝐵𝑀\) и плоскостью основания конуса, если \(𝐴𝐵=8\).

а) 1) Рассмотрим \(\triangle ABS\): \(M\) - середина \(AS\) и \(MN \| SB \Rightarrow MN\) - средняя линия \(\triangle ABS \Rightarrow AN = NB\). 2) Рассмотрим \(\triangle AOB\): \(AO\) и \(OB\) - радиусы \(\Rightarrow \triangle AOB\) - равнобедренный \(\Rightarrow ON\) - высота, так как \(AN = NB\). Получили, что \(AN \perp ON\). Ч.Т.Д. б) Проведем в \(\triangle AOS\) прямую \(MH \| SO\), так как \(SO\) - высота конуса, то \(AO\) - проекция \(AS\) на основание, а \(HB\) - проекция \(MB\) на основание \((SO \perp (AOB) \Rightarrow MH \perp (AOB))\). Тогда \(\angle MBH\) - искомый. \(MH = \dfrac{\sqrt{51}}{2}\) как средняя линия треугольника \(ASB\). В прямоугольном треугольнике \(MHB\) мы знаем \(MH\), чтобы найти \(\angle MBH\) нужно найти \(BH\). По теореме косинусов из треугольника \(AOB\): \(OB^{2} = AO^{2} + AB^{2} - 2 \cdot AO \cdot AB \cdot \cos{\angle{OAB}}\) По теореме косинусов из треугольника \(AHB\) (так как \(AH = HO = 4, MH\) - средняя линия треугольника \(AOS\) \((AM = MS, MH \| SO))\): \(HB^{2} = AB^{2} + AH^{2} - 2 \cdot AB \cdot AH \cdot \cos{\angle{OAB}}\). Учтем, что \(AH = HO \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2} AO\), и получим: \({HB}^{2} = {AB}^{2} + \dfrac{1}{4}{AO}^{2} - AB \cdot AO \cdot \cos{\angle{OAB}}\). Из этих двух записанных теорем выразим \(AO \cdot AB \cdot \cos{\angle{OAB}}\) и приравняем между собой, получим: \({AO}^{2} + {AB}^{2} - {OB}^{2} = {2AB}^{2} + \dfrac{1}{2}{AO}^{2} - {2HB}^{2} \Rightarrow {HB}^2 = \dfrac{{AB}^2 - \dfrac{1}{2}{AO}^2 + OB^2}{2} \Rightarrow {HB}^2 = \dfrac{153}{4} \Rightarrow \\ \Rightarrow HB = \dfrac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{3}}{2}.\) В прямоугольном треугольнике \(MHB\) \(tg{\angle{MBH}} = \dfrac{MH}{HB} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle{MBH} = 30^{\circ}\). Ответ: \(30^{\circ}\).