Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_3121}{\log_311}$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $20$. Точка $G$ − середина стороны $CD$. Найдите площадь трапеции $ABGD$.

$\\AD\,−$биссектриса треугольника $\\ABC$. Угол $\\C$ равен $\\104^{\circ }$, угол $\\CAD$ равен $\\5^{\circ }$. Найдите угол $\\B$. Ответ дайте в градусах.

Угол между стороной и диагональю ромба равен $54^\circ$. Найдите острый угол ромба.

На олимпиаде по обществознанию $400$ участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по $110$ человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$, где $H_0=8$ м - начальный уровень воды, $a=\frac{1}{98}\frac{м}{мин^2}$ и $b=-\frac{4}{7}\frac{м}{мин}$ - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}, AB=10, AC=\sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

В треугольнике $ABC~AD−$ биссектриса, угол $C$ равен $62^{\circ }$, угол $CAD$ равен $31^{\circ }$. Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время , прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $80$ мг. Период его полураспада составляет $2$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5$ мг.

Основания трапеции равны $4$ и $10$. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $\\0,01$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $\\0,96$. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $\\0,06$. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$. Меньшая дуга $AB$ равна $58^{\circ }$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\\\vec{a}$ и $\\\vec{b}$. Найдите угол между векторами.

На координатной плоскости изображены векторы $\\\vec{a}$ и $\\\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\\\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-6;2)$ и $\overrightarrow{b}(9;13)$. Найдите косинус угла между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите косинус угла между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\\\vec{a}$ и $\\\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\\\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды, $\sigma =5{,}7\cdot 10^{-8}\frac{Вт}{м^2\cdot К^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (см$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{16}\cdot 10^{20}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12\cdot 10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Дайте ответ в кельвинах.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $\\59$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $\\50\sqrt{2}$. Найдите образуюшую конуса.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $\\43$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $\\10\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $\\0{,}5$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $\\0{,}32$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность, основание конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $11\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $4$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?