Бабушка, НЕСМОТРЯ НА преклонный возраст, отлично видит и слышит. — производный предлог; НЕ пишется слитно, так как сочетание имеет значение «вопреки преклонному возрасту». Производный предлог несмотря на пишется слитно.
Люди, НЕ БЫВАВШИЕ в тропиках, не могут представить себе зимний дождь. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова в тропиках (не бывавшие где? в тропиках).
Птиц гонит на юг НЕ НАСТУПАЮЩИЙ холод, а отсутствие корма. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как есть противопоставление с союзом а: не наступающий холод, а отсутствие корма. При наличии противопоставления НЕ с причастием пишется раздельно.
В детстве Чехов был НЕИСТОЩИМ на выдумки. — краткое прилагательное; НЕ пишется слитно, так как слово обозначает единый признак и можно подобрать синоним без НЕ — «неисчерпаем», «изобретателен». Противопоставления и слов, усиливающих отрицание, нет.
Андрей вошёл в ещё НЕ ОШТУКАТУРЕННУЮ комнату. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимое слово ещё. В теории прямо приводится аналогичная модель: «ещё не написанное сочинение».