Наш спутник тоже НЕ СИДЕЛ сложа руки. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как с глаголами НЕ обычно пишется раздельно: слово сидел употребляется без НЕ.
Вокруг тянулись НЕСКОНЧАЕМЫЕ виноградники. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как слово нескончаемый относится к словам, которые не употребляются без НЕ. В теории оно прямо приведено в соответствующем списке.
Путники вышли к ещё НЕ ОБРОСШЕМУ кромкой льда берегу. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова кромкой льда, а также слово ещё: ещё не обросшему. Для этой модели в теории приводится аналогичный пример: ещё не написанное сочинение.
НЕ МЕШКАЯ ни минуты, ребята собрали чемоданы. — деепричастие; НЕ пишется раздельно, так как с деепричастиями НЕ обычно пишется раздельно, а слово мешкая употребляется без НЕ.
Но горевать НЕЗАЧЕМ: у вас всё получится. — отрицательное наречие; НЕ пишется слитно. В теории незачем прямо приведено среди отрицательных наречий со слитным написанием.